一個 41 人的班級某次數學考試，每個人的成績都未超過 59 分。老師決定以下列方式調整成績：原始成績為 \( x \) 分的學生，新成績調整為 \( 40 \log_{10} \left( \frac{x+1}{10} \right) + 60 \) 分（四捨五入到整數）。請選出正確的選項。
(1)若某人原始成績是 9 分，則新成績為 60 分
(2)若某人原始成績超過 20 分，則其新成績超過 70 分
(3)調整後全班成績的全距比原始成績的差距大
(4)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的中位數，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的中位數
(5)已知小文的原始成績恰等於全班原始成績的平均，則小文的新成績仍然等於調整後全班成績的平均（四捨五入到整數）。
在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(\angle A = 20^\circ\)，\(AB = 5\)，\(\overline{BC} = 4\)。請選出正確的選項：
(1) 可以確定 \(\angle B\) 的餘弦值；(2) 可以確定 \(\angle C\) 的正弦值；(3) 可以確定 \(\triangle ABC\) 的面積；(4) 可以確定 \(\triangle ABC\) 的内切圓半徑；(5) 可以確定 \(\triangle ABC\) 的外接圓半徑。
甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 \(A, B, C, D\) 四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照 \(A, B, C, D\) 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了 \(B\) 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
(1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 \(C\) 抽到甲的鑰匙的機率
(2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 \(D\) 抽到甲的鑰匙的機率
(3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 \(B\) 抽到乙的鑰匙的機率
(4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 \(C\) 抽到丙的鑰匙的機率
(5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 \(C\) 抽到乙的鑰匙的機率。
計算各機率：
\( P(A抽甲)=\frac{1}{4} \)，\( P(C抽甲)=\frac{3}{4}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8} \)，(1)錯誤。
\( P(D抽甲)=\frac{3}{8} \)，(2)錯誤。
\( P(A抽乙)=\frac{1}{4} \)，\( P(B抽乙)=\frac{1}{3} \)，(3)錯誤。
\( P(B抽丙)=\frac{1}{3} \)，\( P(C抽丙)=\frac{5}{24} \)，(4)正確。
\( P(C抽甲)=\frac{3}{8} \)，\( P(C抽乙)=\frac{5}{24} \)，(5)正確。故選(4)(5)。答案：(4)(5) 報錯
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坐標平面上O為原點，設 \(u=(1,2)\)，\(v=(3,4)\)。令Ω為滿足 \(OP=x u + y v\) 的所有點P所形成的區域，其中 \(1\leq x\leq 1\)，\(-3\leq y\leq \frac{1}{2}\)，則Ω的面積為 __________ 平方單位。（化成最簡分數）
[選填題]給定相異兩點 \( A, B \)，試問空間中能使 \(\triangle PAB\) 成一正三角形的所有點 \( P \) 所成集合為下列哪一選項？
(1)兩個點 (2)一線段 (3)一直線 (4)一圓 (5)一平面。
從橢圓Γ的兩焦點分別作垂直於長軸的直線，交橢圓於四點。已知連此四點得一個邊長為2的正方形，則Γ的長軸長為 __________。
[選填題]設橢圓長軸在x軸上，中心原點。焦點 \( F_1(-c,0), F_2(c,0) \)。過焦點作垂直長軸的直線 \( x=\pm c \)，與橢圓交點縱坐標為 \( \pm \frac{b^2}{a} \)。正方形邊長2 ⇒ \( \frac{2b^2}{a} = 2 \Rightarrow b^2 = a \)。又 \( c^2 = a^2 - b^2 \)，且由圖形及畢氏定理，點 \( (c, \frac{b^2}{a}) \) 到 \( F_2 \) 距離為 \( \sqrt{0^2 + (\frac{b^2}{a})^2} = \frac{b^2}{a} = 1 \)。代入得 \( b^2=1 \)，\( a=1 \)，\( c=0 \) 不合。修正：由圖形點 \( (c,1) \) 在橢圓上，滿足 \( \frac{c^2}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \)，且 \( a^2 = b^2 + c^2 \)，及 \( 2c=2 \) (正方形對角線?)。原解析利用橢圓定義：點 \( (c,1) \) 到兩焦點距離和 \( = \sqrt{(2c)^2+0} + \sqrt{0^2+1^2} = 2c + 1 = 2a \)，且 \( c=1 \) (因正方形邊長2，焦點水平距離2c=2? 需確認)。原答案：\( 1+\sqrt{5} \)。答案：\( 1+\sqrt{5} \) 報錯
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一份試卷共有10題單選題，每題有5個選項，其中只有一個選項是正確答案。假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷，且各題猜答方式互不影響。試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項？
(1) \(10^{-5}\) (2) \(10^{-6}\) (3) \(10^{-7}\) (4) \(10^{-8}\) (5) \(10^{-9}\)。
方程組 \(\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + y + 3z = 6 \\ x – y = 6 \\ x – 2y – z = 8 \end{cases}\) 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，則 \(a = \bigcirc, b = \bigcirc, c = \bigcirc, d = \bigcirc\)。
[選填題]某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？
(1) \(\frac{1}{3}\) (2) \(\frac{8}{21}\) (3) \(\frac{3}{7}\) (4) \(\frac{10}{21}\) (5) \(\frac{11}{21}\)
