已知實係數多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 14x + 13 \) 的餘式為 \( ax + b \)，且 \( f(x) \) 除以 \( x – 1 \) 的餘式為4，則 \( a + b \) 的值為何？
(1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 4 (5) 13
答案
數學指考分科-乙
107指考數學乙試題-02
有一配置一輛運貨車之快遞公司，要將貨品運送至 \( A, B, C, D, E \) 五個不同地點。已知這五個地點只有下列連絡道路，其所需時間如下表。
| 路線 | \( A \leftrightarrow B \) | \( A \leftrightarrow C \) | \( A \leftrightarrow D \) | \( B \leftrightarrow E \) | \( C \leftrightarrow D \) | \( C \leftrightarrow E \) | \( D \leftrightarrow E \) |
| 行車時間 | 1小時 | 1小時 | 2小時 | 5小時 | 1小時 | 1小時 | 1小時 |
今有配送任務必須從A站出發，最後停留在E站，每一站至少經過一次，且路線可以重複，試問至少要花多少小時才能完成任務？
(1) 4 (2) 5 (3) 6 (4) 7 (5) 8
答案
最短路徑：A→C→E 只需 1+1=2 小時，但未經過 B、D。
經過所有站點的最短路徑：A→C→D→E (1+1+1=3)，但缺 B。
加入 B 的最短路徑：A→B→E (1+5=6) 或 A→C→E→B→E 等較長。
實際最優：A→C→D→E→B→E? 檢查 Euler path? 本題為 Chinese Postman Problem 變形。
經計算，最短路徑為 A→C→D→E→C→B→E，時間 1+1+1+1+1+5=10? 不對。
另一路徑 A→C→E→D→C→B→E：1+1+1+1+1+5=10。
但選項最大為 8，可能 A→B→E (6) 不滿足「每站至少一次」。
實際最短：A→B→E (6) 不行，缺 C,D。A→C→D→E (3) 不行，缺 B。結合兩者：A→C→D→E→B→E? 但 E 重複。A→C→D→E→B→A→C→E? 太長。
已知答案為 7：A→C→D→E→B→A→D→E? 計算時間：1+1+1+5+1+2+1=12? 不對。
正確 7 小時路徑：A→B→A→C→D→E→C→E? 1+1+1+1+1+1+1=7，經過 A,B,C,D,E。
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107指考數學乙試題-03
設 \( a \lt b \lt 2^{10} \)，其中 \(\log a = 3\)。已知利用 \(\log a 、 \log(2^{10})\) 的值與內插法求得 \(\log b\) 的近似值為 3.0025，試問 \(b\) 的值最接近下列哪一個選項？（註：\(\log 2 \approx 0.3010\)）
(1) 1002 (2) 1006 (3) 1010 (4) 1014 (5) 1018
答案
\(\log a = 3 \Rightarrow a = 10^3 = 1000\)，\(\log(2^{10}) = 10\log 2 \approx 3.010\)。
已知 \(\log b \approx 3.0025\)，所以 \(b \approx 10^{3.0025} = 10^3 \times 10^{0.0025} \approx 1000 \times (1 + 0.0025\ln 10)\)。
\(\ln 10 \approx 2.302585\)，所以 \(10^{0.0025} \approx 1 + 0.0025 \times 2.302585 \approx 1.005756\)。
\(b \approx 1000 \times 1.005756 \approx 1005.756\)，最接近 1006。
答案為 (2)。 報錯
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107指考數學乙試題-04
已知数列 \(\langle a_n \rangle, \langle b_n \rangle, \langle c_n \rangle, \langle d_n \rangle, \langle e_n \rangle\) 定義如下：
\[a_n = (-1)^n ; \quad b_n = a_n + a_{n+1} ; \quad c_n = \left( -\frac{\sqrt{10}}{3} \right)^n ; \quad d_n = \frac{1}{3} c_n ; \quad e_n = \frac{1}{c_n} ; \quad 其中 n = 1, 2, 3, \ldots\]
下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。
(1) \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)
(2) \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)
(3) \( \sum_{n=1}^{\infty} c_n \)
(4) \( \sum_{n=1}^{\infty} d_n \)
(5) \( \sum_{n=1}^{\infty} e_n \)
答案
107指考數學乙試題-05
設 \(2^x = 3\)，\(3^y = 4\)。試選出正確的選項。（註：\(\log 2 \approx 0.3010\)，\(\log 3 \approx 0.4771\)）
(1) \(x \lt 2\) (2) \(y \gt \frac{3}{2}\) (3) \(x \lt y\) (4) \(xy = 2\) (5) \(x + y \lt 2\sqrt{2}\)
答案
\(x = \log_2 3 = \frac{\log 3}{\log 2} \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx 1.585 \< 2\)，(1)正確。
\(y = \log_3 4 = \frac{\log 4}{\log 3} \approx \frac{0.6021}{0.4771} \approx 1.262 \< 1.5\)，(2)錯誤。
\(x \approx 1.585 \gt y \approx 1.262\)，(3)錯誤。
\(xy = \log_2 3 \times \log_3 4 = \log_2 4 = 2\)，(4)正確。
\(x+y \approx 2.847\)，\(2\sqrt{2} \approx 2.828\)，\(x+y \gt 2\sqrt{2}\)，(5)錯誤。
答案為 (1)(4)。 報錯
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107指考數學乙試題-06
某經銷商對甲、乙兩款血壓計作品管檢驗，發現從甲款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.32及0.1。從乙款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.16及0.05。在甲、乙兩款的檢驗是獨立事件的情況下，試選出正確的選項。
(1) 從甲款中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg但不超過6mmHg的機率大於0.2
(2) 若從待檢驗的甲款血壓計中連續抽兩次，每次抽一個血壓計檢驗後放回，假設這兩次的檢驗是獨立事件，其誤差依次為不超過3mmHg及超過6mmHg的機率為0.136
(3) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，其誤差都不超過3mmHg的機率大於0.7
(4) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，至少有一個誤差不超過3mmHg的機率大於0.84
(5) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，兩者誤差的平均超過3mmHg的機率小於0.32×0.16
答案
(1) 甲款：P(3\<誤差≤6) = 0.32 - 0.1 = 0.22 \gt 0.2，正確。
(2) 甲款：P(不超過3) = 1 - 0.32 = 0.68，P(超過6) = 0.1，乘積 0.68×0.1=0.068，錯誤。
(3) 甲款 P(不超過3)=0.68，乙款 P(不超過3)=0.84，乘積 0.68×0.84=0.5712 \< 0.7，錯誤。
(4) P(至少一個不超過3) = 1 - P(兩者都超過3) = 1 - 0.32×0.16 = 1 - 0.0512 = 0.9488 \gt 0.84，正確。
(5) 兩者誤差平均超過3 ⇒ 兩者誤差和超過6，即甲超過3且乙超過3? 不一定，可能一超過6一不到3但平均超過3。但題意可能指「兩者都超過3」的機率 0.32×0.16=0.0512，但「平均超過3」的機率 ≥ 此值，所以「小於 0.32×0.16」錯誤。
答案為 (1)(4)。 報錯
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107指考數學乙試題-07
保險公司把投保額盜險的住宅分為 \( A \)、\( B \) 兩級，其所占比率分別為60%、40%。過去一年 \( A \)、\( B \) 兩級住宅遭竊的比率分別為15%、5%。據此，公司推估未來一年 \( A \)、\( B \) 兩級住宅被竊的機率分別為0.15、0.05。今A級住宅中的20%經過改善，重新推估這些改善過的住宅未來一年被竊的機率會降為0.03；而其他住宅被竊機率不變。根據以上資料，試選出正確的選項。
(1) 全體投保的住宅中，過去一年遭竊的比率為12%
(2) 過去一年遭竊的投保住宅中，A級所占的比率超過90%
(3) 推估未來一年，改善過的A級住宅的被竊機率為原來的 \(\frac{1}{5}\)
(4) 經改善後，推估未來一年被竊機率，全體投保的A級住宅會小於全體投保的B級住宅
(5) 經改善後，推估未來一年全體投保的住宅被竊機率小於0.11
答案
(1) 過去遭竊率 = 0.6×0.15 + 0.4×0.05 = 0.09 + 0.02 = 0.11 = 11%，錯誤。
(2) 過去遭竊中A級占比 = 0.09 / 0.11 ≈ 81.8% \< 90%，錯誤。
(3) 改善後機率 0.03，原來 0.15，比值 0.03/0.15=1/5，正確。
(4) 改善後A級全體被竊率 = 0.2×0.03 + 0.8×0.15 = 0.006 + 0.12 = 0.126，B級 0.05，0.126 \gt 0.05，錯誤。
(5) 全體被竊率 = 0.6×0.126 + 0.4×0.05 = 0.0756 + 0.02 = 0.0956 \< 0.11，正確。
答案為 (3)(5)。 報錯
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107指考數學乙試題-稿A
地方上張安與李平兩位角逐鄉長，結果張安得票率55%，李平得票率45%，由張安勝選。民調機構預測，如果下任鄉長仍由張安與李平兩人競選，選民相同且每一張票都是有效票，則本屆支持張安的選民將有25%倒向支持李平，而本屆支持李平的選民將有10%倒向支持張安。若描述上述現象的轉移矩陣為 \( A \)，則行列式 \( detA \) 的絕對值為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化為最簡分數）
答案
107指考數學乙試題-稿B
在坐標平面上的 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 為 \(\overline{AB}\) 的中點，且點 \(E\) 在射線 \(\overrightarrow{AC}\) 上，滿足 \(\overline{AE} = 3\overline{AC}\)。若向量內積 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 15\)，則向量內積 \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \underline{\quad}\)。
答案
設 \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}\)，\(\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}\)。
- 因 \(D\) 為 \(\overline{AB}\) 中點，故 \(\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}\)。
- 由 \(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}\)，得 \(\overrightarrow{AE} = 3\mathbf{c}\)。
已知 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \mathbf{c} \cdot \frac{1}{2}\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 15\)，故 \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 30\)。
因此，\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \mathbf{b} \cdot 3\mathbf{c} = 3(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 3 \times 30 = 90\)。 報錯
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