105指考數乙

用一次因式檢驗法（有理根定理）：可能的有理根為 \(\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{2}{7}\)。
測試 \(x = \frac{1}{7}\)：代入得 \(7(\frac{1}{7})^5 - 2(\frac{1}{7})^4 + 14(\frac{1}{7})^3 - 4(\frac{1}{7})^2 + 7(\frac{1}{7}) - 2 = \frac{1}{2401} - \frac{2}{2401} + \frac{14}{343} - \frac{4}{49} + 1 - 2\)，計算得 0。
所以 \(\frac{1}{7}\) 是根。
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列出所有 \(m, n\) 正整數且 \(mn \leq 8\)，化為最簡分數後去重複：
\(m=1\)：\(n=1,\dots,8\) → 1,2,3,4,5,6,7,8
\(m=2\)：\(n=1,\dots,4\) → 1/2, 1, 3/2, 2 (去重複後得 1/2, 3/2)
\(m=3\)：\(n=1,2\) → 1/3, 2/3
\(m=4\)：\(n=1,2\) → 1/4, 1/2(重複), 2/4=1/2(重複) → 得 1/4
\(m=5\)：\(n=1\) → 1/5
\(m=6\)：\(n=1\) → 1/6
\(m=7\)：\(n=1\) → 1/7
\(m=8\)：\(n=1\) → 1/8
總共：8 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 個。
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\(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10)\)，長度 \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)；\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)，長度 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。
(1) 長度 \(3\times 5\sqrt{5}=15\sqrt{5}\)
(2) 長度 \(6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}\)
(3) 向量 \((-10,-20) - (-20,10) = (10,-30)\)，長度 \(\sqrt{100+900}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(4) 向量 \((10,20) - (-20,10) = (30,10)\)，長度 \(\sqrt{900+100}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(5) 向量 \((5,10) + (-28,14) = (-23,24)\)，長度 \(\sqrt{529+576}=\sqrt{1105} \approx 33.24\)
最大為 (5)。
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設 \(f(x) = (x-5)(x-6)^2 Q(x) + 5x^2+6x+7\)。
(1) \(f(0) = 7\) 可求，正確。
(2) \(f(1) = 5+6+7=18\) 可求，正確。
(3) 欲求 \(f(x)\) 除以 \((x-5)^2\) 的餘式，設餘式 \(ax+b\)，由 \(f(5)=5\cdot 25+6\cdot 5+7=125+30+7=162\) 得 \(5a+b=162\)，但還需 \(f'(5)\)，而 \(f'(x)\) 可由餘式 \(5x^2+6x+7\) 在 \(x=5\) 的導數求得（因另一項在 \(x=5\) 時為0），\(f'(5)=10\cdot 5+6=56\)，又 \(f'(x)\) 對餘式部分為 \(a\)，所以 \(a=56\)，則 \(b=162-280=-118\)，可求，正確。
(4) 類似 (3)，用 \(x=6\) 及導數，可求，正確。
(5) 除以 \((x-5)(x-6)\) 的餘式次數 ≤1，設 \(ax+b\)，由 \(f(5)=162\)，\(f(6)=5\cdot 36+6\cdot 6+7=180+36+7=223\)，解 \(5a+b=162\)，\(6a+b=223\) 得 \(a=61\)，\(b=-143\)，可求，正確。
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用推理：設兩車為車1、車2。
由(1)甲A同車，(2)乙B同車，(3)C,D不同車。
(1) A與D不一定不同車，可能同車，錯誤。
(2) 甲與B：若甲與B同車，則該車有甲,A,B，另一車有乙,B? 矛盾，因為B只能在一車，所以甲與B必不同車，正確。
(3) 乙與丙不一定同車，錯誤。
(4) 若乙與丁同車，則該車有乙,B,丁，另一車有甲,A,C/D。若丙在乙車則4人滿；若丙在甲車，則甲車有甲,A,丙,C/D，則B車有乙,B,丁,? 必須是C或D，但C,D不同車，所以若B車有C，則甲車有D；若B車有D，則甲車有C。此時丙在甲車，與B小姐不同車。所以(4)不一定成立，錯誤。
(5) 若D與乙同車，則乙車有乙,B,D，另一車有甲,A,C（因C,D不同車）。所以C與A同車，正確。
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\( a = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} - 1} \)。
(1) \(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 - 0.707 = 0.293 \gt 0\)，所以 \(a \gt 10^0 = 1\)，正確。
(2) \(a = 10^{0.293} \approx 1.96\)，\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，所以 \(a \gt \sqrt{3}\)，錯誤。
(3) \(a^2 = 10^{2 - \sqrt{2}} \approx 10^{0.586}\)，\(b^{\sqrt{3}} = 10^{(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} = 10^{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \approx 10^{2.449 - 1.732} = 10^{0.717}\)，所以 \(a^2 \lt b^{\sqrt{3}}\)，正確。
(4) \(b = 10^{\sqrt{2}-1} \approx 10^{0.414}\)，\(10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5}\) 成立，正確。
(5) \(ab = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} - 1} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)，\((ab)^{\sqrt{2}} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = 10^1 = 10\)，所以等於10，錯誤。
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\(L: x-2y=-4 \Rightarrow y=\frac{x+4}{2}\)。
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{OP} = (1,0)\)，平行意味著 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} = k(1,0)\)，即 y=0，代入 L 得 x=-4，A=(-4,0) 在 L 上，正確。
(2) 垂直則內積 0，設 B=(x,(x+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = x = 0\)，得 B=(0,2) 在 L 上，正確。
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\rightharpoonup}{PC} = 0\)，設 C=(t,(t+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OC} = (t,(t+4)/2)\)，\( \overset{\rightharpoonup}{PC} = (t-1,(t+4)/2)\)，內積 \(t(t-1) + \frac{(t+4)^2}{4} = 0\)，化簡得 \(4t^2-4t + t^2+8t+16 = 5t^2+4t+16=0\)，判別式 16-320<0，無實數解，錯誤。
(4) 設 D=(t,(t+4)/2)，\(PD^2 = (t-1)^2 + ((t+4)/2)^2 = 4\)，化簡得 \(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+20=0\)? 檢查：乘4：\(4(t-1)^2 + (t+4)^2 = 4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 4\times 4=16\)? 我算錯。正確：\( (t-1)^2 + \frac{(t+4)^2}{4} = 4\)，乘以4：\(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 16\)，得 \(5t^2= -4\) 無解，錯誤。
(5) 等腰三角形 EOP：可能 EO=EP 或 EO=OP 或 EP=OP。OP=1。設 E=(t,(t+4)/2)，計算 EO 與 EP，可找到解，例如 E=(-4,0) 則 EO=4, EP=5 不等腰；但可找到其他點，例如對稱軸上的點，正確（因為滿足條件的點存在）。
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累積人數：<10k:30%，10k~20k:40%，20k~40k:70%，40k~80k:100%。
(1) 中位數在第500人處，落在20k~40k區間，正確。
(2) 10k~20k區間機率10%，其他區間30%或30%，確實最低，正確。
(3) 平均數可能高於40k，因為40k~80k區間可拉高平均，錯誤。
(4) 右偏分布時平均數>中位數，但此資料右偏嗎？40k~80k占30%，可能平均>中位數，所以平均不可能低於中位數？不一定，若左邊數值很低可能平均<中位數？但本題左邊30%<10k，10%在10k~20k，30%在20k~40k，30%在40k~80k，估計平均數約 (5k×30% + 15k×10% + 30k×30% + 60k×30%) = 1.5k + 1.5k + 9k + 18k = 30k，中位數在20k~40k，可能平均>中位數或接近，但「不可能低過」不一定成立，錯誤。
(5) 原平均約30k，總所得30M，新加入200k，總所得30.2M，人數1001，平均約30170，增加約170元 \< 200元，正確。
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總排列數 \(6!\)。計算前三顆有相鄰兩白球的機率。
用補集：前三顆沒有相鄰兩白球 ⇒ 白球分開排列。
前三顆球中白球數 k=0,1,2,3。
k=0：全紅，但紅球只有3個，不可能全紅在前三顆（因為紅3白3）。
k=1：白1紅2，排列數 C(3,1)×C(3,2)×3! = 3×3×6=54，且無相鄰白球（因只有1白）。
k=2：白2紅1，要無相鄰白球 ⇒ 排列為 紅白紅白? 但只有3位，只能是 白紅白，排列數：選哪個紅球 C(3,1)=3，排列方式 白紅白 中白球有2個不同，所以 3×2=6？不對，白球有3選2 C(3,2)=3，紅球3選1 C(3,1)=3，排列方式只有「白紅白」1種，所以 3×3×1=9。
k=3：前三顆全白，必有相鄰白球，不算。
所以無相鄰白球情況數 = 54+9=63。
總排列數 = 6! = 720，但我們只關心前三顆的顏色排列，其實機率與後三顆無關，所以樣本空間為 C(6,3)=20 種前三顆組合? 但題目是「依次取出」所以考慮順序，總數 P(6,3)=120 種前三顆排列。
無相鄰白球情況數：k=1：白1紅2：選白 C(3,1)=3，選紅 C(3,2)=3，排列數：3個位置放1白2紅且白不在相鄰? 其實只有1白不會相鄰，所以排列數 3! = 6，所以 3×3×6=54。
k=2：白2紅1：選白 C(3,2)=3，選紅 C(3,1)=3，排列且白不相鄰 ⇒ 排列為 白紅白 只有1種排列，所以 3×3×1=9。
總無相鄰 = 54+9=63。
所以有相鄰白球機率 = 1 - 63/120 = 57/120 = 19/40。
答案為 \(\frac{19}{40}\)。 報錯
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\( A^{-1} = cB \) ⇒ \( A \cdot cB = I \) ⇒ \( c AB = I \) ⇒ \( AB = \frac{1}{c} I \)。
計算 \( AB = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+4 & -6+2x \\ -6+2x & 4+x^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 2x-6 \\ 2x-6 & x^2+4 \end{bmatrix} \)。
要等於 \( k I \)，則 \( 2x-6=0 \) ⇒ \( x=3 \)。
代入得 \( AB = \begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} = 13I \)，所以 \( \frac{1}{c} = 13 \) ⇒ \( c = \frac{1}{13} \)。
答案為 \((3, \frac{1}{13})\)。 報錯
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