設 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) 為實係數多項式函數。若 \( f(1) = f(2) = 0 \) 且 \( f(3) = 4 \)，則 \( a + 2b + c \) 的值是下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 5
106指考數乙
106指考數學乙試題-02
下列哪一個選項的值最大？
(1) \(\log_2 3\)
(2) \(\log_4 6\)
(3) \(\log_8 12\)
(4) \(\log_{16} 24\)
(5) \(\log_{32} 48\)
答案
利用換底公式：
(1) \(\log_2 3\)
(2) \(\log_4 6 = \frac{\log_2 6}{2} = \frac{1+\log_2 3}{2}\)
(3) \(\log_8 12 = \frac{\log_2 12}{3} = \frac{2+\log_2 3}{3}\)
(4) \(\log_{16} 24 = \frac{\log_2 24}{4} = \frac{3+\log_2 3}{4}\)
(5) \(\log_{32} 48 = \frac{\log_2 48}{5} = \frac{4+\log_2 3}{5}\)
設 \( t = \log_2 3 \approx 1.585 \)，計算：
(1) 1.585, (2) 1.293, (3) 1.195, (4) 1.146, (5) 1.117
最大為 (1)。
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106指考數學乙試題-03
有一個不公正的骰子，投擲一次出現1點的機率與出現3點的機率之和是0.2，出現2點的機率與出現4點的機率之和是0.4，出現5點的機率與出現6點的機率之和是0.4。試選出正確的選項。
(1) 出現1點的機率是0.1
(2) 出現4點的機率大於出現3點的機率
(3) 出現偶數點的機率是0.5
(4) 出現奇數點的機率小於0.5
(5) 投擲點數的期望值至少是3
答案
設 \( P(1)=a, P(3)=b, P(2)=c, P(4)=d, P(5)=e, P(6)=f \)。
已知：
\( a+b=0.2 \)
\( c+d=0.4 \)
\( e+f=0.4 \)
且 \( a+b+c+d+e+f=1 \)（已滿足）。
(1) 無法確定 a 是否為 0.1，錯誤。
(2) 無法比較 d 與 b 大小，錯誤。
(3) 偶數點機率 = \( c+d+f \)，但已知 \( c+d=0.4 \)，但 f 未知，不一定為 0.5，錯誤。
(4) 奇數點機率 = \( a+b+e = 0.2+e \)，因 \( e \leq 0.4 \)，所以 \( \leq 0.6 \)，但無法確定是否 < 0.5，錯誤。
(5) 期望值 = \( 1a+2c+3b+4d+5e+6f \)
= \( (a+b) + 2(c+d) + 3(b? ) \) 重組：
= \( a+3b + 2c+4d + 5e+6f \)
= \( (a+b) + 2b + 2(c+d) + 2d + 5e+6f \)
= \( 0.2 + 2b + 0.8 + 2d + 5e+6f \)
= \( 1.0 + 2b+2d+5e+6f \)
又 \( e+f=0.4 \)，最小值當 \( b=d=0, e=0, f=0.4 \) 時，期望值 = 1.0 + 0 + 0 + 0 + 2.4 = 3.4 \gt 3，所以至少是 3，正確。
答案為 (5)。 報錯
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106指考數學乙試題-04
考慮實數 \( a, b, c \) ，其中 \( a \neq 0 \) 。令 \(\Gamma\) 為 \( y = ax^2 + bx + c \) 的圖形。試選出正確的選項。
(1) 若 \( a \gt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(2) 若 \( a \lt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(3) 若 \( b^2 – 4ac \gt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(4) 若 \( c \gt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(5) 若 \( c \lt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
答案
(1) 若 \( a \gt 0 \)，當 \( x \to \infty \)，\( y \to \infty \)，所以會通過第一象限，正確。
(2) 若 \( a \lt 0 \)，當 \( x \to \infty \)，\( y \to -\infty \)，但當 \( x \to -\infty \)，\( y \to -\infty \)，頂點可能在第一象限？例如 \( y = -(x-1)^2 \) 頂點 (1,0) 不在第一象限（y=0）。但若頂點在第一象限且開口向下，則會通過第一象限，例如 \( y = -(x-1)^2+1 \) 頂點 (1,1)，會通過第一象限，所以可能通過，正確。
(3) \( b^2-4ac \gt 0 \) 表示與 x 軸有兩交點，但不保證通過第一象限，例如 \( y = -x^2-1 \) 無實根但判別式? 其實 \( b^2-4ac \gt 0 \) 時，若 a>0 則右端向上，會通過第一象限；若 a<0 則可能不通過，例如頂點在第二象限且開口向下，錯誤。
(4) \( c \gt 0 \) 表示 x=0 時 y>0，所以 (0,c) 在第一象限，正確。
(5) \( c \lt 0 \) 時，x=0 時 y<0，不在第一象限，但圖形可能通過第一象限，例如 \( y = x^2-1 \) 當 x>1 時 y>0，正確。
答案為 (1)(2)(4)(5)。 報錯
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106指考數學乙試題-05
設 \( a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \) 是一公比為 \(\frac{1}{2}\) 的無窮等比數列且 \(a_1 = 1\)。試問以下哪些數列會收斂？
(1) \(-a_1, -a_2, \cdots, -a_n, \cdots\)
(2) \(a_1^2, a_2^2, \cdots, a_n^2, \cdots\)
(3) \(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \cdots, \sqrt{a_n}, \cdots\)
(4) \(\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \cdots, \frac{1}{a_n}, \cdots\)
(5) \(\log a_1, \log a_2, \cdots, \log a_n, \cdots\)
106指考數學乙試題-06
坐標平面上，\(\Gamma_1\) 為 \(y = \log_2 x\) 的圖形，\(\Gamma_2\) 為 \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) 的圖形。下列關於 \(\Gamma_1\) 與 \(\Gamma_2\) 的敘述，試選出正確的選項。
(1) \(\Gamma_1\) 的圖形凹口向下
(2) \(\Gamma_2\) 的圖形凹口向下
(3) \(\Gamma_1\) 的圖形均在 \(x\) 軸的上方
(4) \(\Gamma_2\) 的圖形均在 \(y\) 軸的右方
(5) \(\Gamma_1\) 與 \(\Gamma_2\) 恰交於一點
答案
\(\Gamma_1: y=\log_2 x\)，\(\Gamma_2: y=\log_{1/2} x = -\log_2 x\)。
(1) \(\Gamma_1\) 的二階導數 \(y'' = -\frac{1}{x^2\ln 2} \lt 0\)，所以凹口向下，正確。
(2) \(\Gamma_2\) 的二階導數 \(y'' = \frac{1}{x^2\ln 2} \gt 0\)，凹口向上，錯誤。
(3) \(\Gamma_1\) 當 \(0 \lt x \lt 1\) 時 y<0，錯誤。
(4) \(\Gamma_2\) 定義域 x>0，所以在 y 軸右方，正確。
(5) 解 \(\log_2 x = -\log_2 x \) ⇒ \(2\log_2 x = 0 \) ⇒ \(x=1\)，交點 (1,0)，正確。
答案為 (1)(4)(5)。 報錯
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106指考數學乙試題-07
小明參加某次國文、英文、數學、自然、社會五個科目的測驗，每一科的分數均為0~100分。已知小明國英數三科的分數分別為75,80,85分。試問下列哪些選項會讓小明五科成績的平均不低於80分且五科標準差不大於5分？
（註：標準差 \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \mu)^2}\)，其中\(\mu\)為平均數。）
(1) 自然75分，社會80分
(2) 自然與社會兩科皆80分
(3) 自然與社會的平均85分
(4) 自然與社會兩科之和不低於160分且兩科差距不超過10分
(5) 自然與社會兩科的分數都介於80與82分之間
答案
國英數：75,80,85，平均80。
五科平均 \(\mu \ge 80\) ⇒ 自然+社會 \(\ge 160\)。
五科標準差 \(\sigma \le 5\) ⇒ 方差 \(\le 25\)。
(1) 自然75,社會80，總分155，平均79，不滿足平均≥80，錯誤。
(2) 自然80,社會80，總分160，平均80，數據：75,80,85,80,80，平均80，標準差計算：平方和差：25+0+25+0+0=50，方差10，標準差√10≈3.16≤5，正確。
(3) 平均85 ⇒ 總分170，數據：75,80,85,x,y 且 x+y=170，可能標準差很大，例如0,170，則方差很大，不一定滿足，錯誤。
(4) 總分≥160，且 |x-y|≤10，平均≥80，但標準差可能>5，例如75,80,85,70,90，平均80，平方差：25+0+25+100+100=250，方差50，標準差√50≈7.07>5，錯誤。
(5) 分數在80~82之間，總分在160~164之間，平均≥80，且所有數據接近80，標準差很小，一定≤5，正確。
答案為 (2)(5)。 報錯
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106指考數學乙試題-稿A
平面向量 \(u\) 和向量 \(v\) 互相垂直，且 \(u – v = (4, -7)\)。若 \(u\) 的長度為6，則 \(v\) 的長度為 \(\sqrt{\underline{\qquad\qquad}}\)。
答案
106指考數學乙試題-稿B
不等式 \( x+y \leq 47 \) 的所有非負整數解中，滿足 \( x \geq y \) 的解共有 __________ 組。
106指考數學乙試題-稿C
坐標平面上，有兩點 \( A(4,-1) \) 與 \( B(-2,2) \)。已知點 \( C(x,y) \) 滿足聯立不等式 \( x+2y \geq 2 \)、\( x-y \geq -4 \)、\( y \leq 8 \) 以及 \( 3x+y \leq 23 \)，則當 \( C \) 點坐標為 \( (\underline{\qquad},\underline{\qquad}) \) 時，\(\triangle ABC\) 有最大的面積。
答案
\(\triangle ABC\) 面積最大時，C 到 AB 的距離最大。
AB 直線：斜率 (2-(-1))/(-2-4) = 3/(-6) = -1/2，方程：y+1 = (-1/2)(x-4) ⇒ y = -x/2 +1。
距離公式：\( \frac{|(-1/2)x - y + 1|}{\sqrt{(-1/2)^2+1}} \)，但符號處理麻煩，改用頂點檢驗法。
可行解區域頂點：解交點：
1. \( x+2y=2 \) 與 \( x-y=-4 \) ⇒ 相減 3y=6 ⇒ y=2, x=-2 ⇒ (-2,2) 即 B 點。
2. \( x+2y=2 \) 與 \( 3x+y=23 \) ⇒ 解：由第一式 x=2-2y，代入第二式 6-6y+y=23 ⇒ -5y=17 ⇒ y=-17/5，x=2+34/5=44/5，頂點 (44/5, -17/5)。
3. \( x-y=-4 \) 與 \( 3x+y=23 \) ⇒ 相加 4x=19 ⇒ x=19/4, y=19/4+4=35/4，頂點 (19/4, 35/4)。
4. \( x+2y=2 \) 與 \( y=8 \) ⇒ x=2-16=-14，頂點 (-14,8)。
5. \( x-y=-4 \) 與 \( y=8 \) ⇒ x=4，頂點 (4,8)。
6. \( 3x+y=23 \) 與 \( y=8 \) ⇒ 3x=15 ⇒ x=5，頂點 (5,8)。
檢查哪些在區域內：需滿足所有不等式。
計算各頂點與 A,B 形成的三角形面積（AB 為底，高為 C 到 AB 距離）。
AB 長度固定，面積與距離成正比。
AB 直線方程：x+2y-2=0? 檢查 A:4+2(-1)-2=0，B:-2+4-2=0，正確。
距離 \( d = \frac{|x+2y-2|}{\sqrt{5}} \)。
計算各頂點 |x+2y-2|：
(-2,2): |-2+4-2|=0
(44/5,-17/5): |44/5 -34/5 -2| = |10/5 -2| = 0
(19/4,35/4): |19/4+70/4-2| = |89/4-2| = |81/4|=20.25
(-14,8): |-14+16-2|=0
(4,8): |4+16-2|=18
(5,8): |5+16-2|=19
最大為 (19/4,35/4) 的 20.25。
但需檢查 (19/4,35/4) 是否在區域內：
x+2y=19/4+70/4=89/4=22.25≥2 ok
x-y=19/4-35/4=-16/4=-4≥-4 ok
y=35/4=8.75≤8? 不滿足！所以此點不在區域內（因 y≤8）。
所以最大距離頂點為 (5,8)：距離 19/√5。
檢查 (4,8)：距離 18/√5。
其他頂點距離 0。
所以最大面積在 C=(5,8)。
答案為 (5,8)。 報錯
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