107指考數乙

已知實係數多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 14x + 13 \) 的餘式為 \( ax + b \)，且 \( f(x) \) 除以 \( x – 1 \) 的餘式為4，則 \( a + b \) 的值為何？
(1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 4 (5) 13

有一配置一輛運貨車之快遞公司，要將貨品運送至 \( A, B, C, D, E \) 五個不同地點。已知這五個地點只有下列連絡道路，其所需時間如下表。

今有配送任務必須從A站出發，最後停留在E站，每一站至少經過一次，且路線可以重複，試問至少要花多少小時才能完成任務？
(1) 4 (2) 5 (3) 6 (4) 7 (5) 8

設 \( a \lt b \lt 2^{10} \)，其中 \(\log a = 3\)。已知利用 \(\log a 、 \log(2^{10})\) 的值與內插法求得 \(\log b\) 的近似值為 3.0025，試問 \(b\) 的值最接近下列哪一個選項？（註：\(\log 2 \approx 0.3010\)）
(1) 1002 (2) 1006 (3) 1010 (4) 1014 (5) 1018

已知数列 \(\langle a_n \rangle, \langle b_n \rangle, \langle c_n \rangle, \langle d_n \rangle, \langle e_n \rangle\) 定義如下：
\[a_n = (-1)^n ; \quad b_n = a_n + a_{n+1} ; \quad c_n = \left( -\frac{\sqrt{10}}{3} \right)^n ; \quad d_n = \frac{1}{3} c_n ; \quad e_n = \frac{1}{c_n} ; \quad 其中 n = 1, 2, 3, \ldots\]
下列選項中，試選出會收斂的無窮級數。
(1) \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)
(2) \( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \)
(3) \( \sum_{n=1}^{\infty} c_n \)
(4) \( \sum_{n=1}^{\infty} d_n \)
(5) \( \sum_{n=1}^{\infty} e_n \)

設 \(2^x = 3\)，\(3^y = 4\)。試選出正確的選項。（註：\(\log 2 \approx 0.3010\)，\(\log 3 \approx 0.4771\)）
(1) \(x \lt 2\) (2) \(y \gt \frac{3}{2}\) (3) \(x \lt y\) (4) \(xy = 2\) (5) \(x + y \lt 2\sqrt{2}\)

某經銷商對甲、乙兩款血壓計作品管檢驗，發現從甲款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.32及0.1。從乙款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.16及0.05。在甲、乙兩款的檢驗是獨立事件的情況下，試選出正確的選項。
(1) 從甲款中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg但不超過6mmHg的機率大於0.2
(2) 若從待檢驗的甲款血壓計中連續抽兩次，每次抽一個血壓計檢驗後放回，假設這兩次的檢驗是獨立事件，其誤差依次為不超過3mmHg及超過6mmHg的機率為0.136
(3) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，其誤差都不超過3mmHg的機率大於0.7
(4) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，至少有一個誤差不超過3mmHg的機率大於0.84
(5) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，兩者誤差的平均超過3mmHg的機率小於0.32×0.16

保險公司把投保額盜險的住宅分為 \( A \)、\( B \) 兩級，其所占比率分別為60%、40%。過去一年 \( A \)、\( B \) 兩級住宅遭竊的比率分別為15%、5%。據此，公司推估未來一年 \( A \)、\( B \) 兩級住宅被竊的機率分別為0.15、0.05。今A級住宅中的20%經過改善，重新推估這些改善過的住宅未來一年被竊的機率會降為0.03；而其他住宅被竊機率不變。根據以上資料，試選出正確的選項。
(1) 全體投保的住宅中，過去一年遭竊的比率為12%
(2) 過去一年遭竊的投保住宅中，A級所占的比率超過90%
(3) 推估未來一年，改善過的A級住宅的被竊機率為原來的 \(\frac{1}{5}\)
(4) 經改善後，推估未來一年被竊機率，全體投保的A級住宅會小於全體投保的B級住宅
(5) 經改善後，推估未來一年全體投保的住宅被竊機率小於0.11

地方上張安與李平兩位角逐鄉長，結果張安得票率55%，李平得票率45%，由張安勝選。民調機構預測，如果下任鄉長仍由張安與李平兩人競選，選民相同且每一張票都是有效票，則本屆支持張安的選民將有25%倒向支持李平，而本屆支持李平的選民將有10%倒向支持張安。若描述上述現象的轉移矩陣為 \( A \)，則行列式 \( detA \) 的絕對值為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化為最簡分數）

在坐標平面上的 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 為 \(\overline{AB}\) 的中點，且點 \(E\) 在射線 \(\overrightarrow{AC}\) 上，滿足 \(\overline{AE} = 3\overline{AC}\)。若向量內積 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 15\)，則向量內積 \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \underline{\quad}\)。

有100元、200元、300元、400元的紅包袋各一個，由甲、乙、丙三人依序各抽取1個紅包袋，抽取後不放回。若每個紅包袋被抽取的機會都相等，則甲、乙、丙三人紅包金額總和的期望值為 __________ 元。