107指考數乙
107指考數學乙試題-2)
(2) 若 \( f(x) = a(x – k)^2 + b \)，且 \( y = f(x) \) 的圖形與 x 軸交於相異兩點，試判斷 ab 乘積的值為正或負，並請說明理由。
答案
107指考數學乙試題-3)
(3) 若方程式 \( f(x) = 0 \) 有相異實根，試證兩根之積小於 4。
答案
設 \( f(x) = a(x+2)^2 + b \)，且 \( f(x) = 0 \) 有兩相異實根 \( \alpha, \beta \)。
由 \( a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow a(x^2 + 4x + 4) + b = 0 \Rightarrow ax^2 + 4a x + (4a+b) = 0 \)。
根與係數：\( \alpha\beta = \frac{4a+b}{a} = 4 + \frac{b}{a} \)。
由 (2) 知 \( \frac{b}{a} \lt 0 \)，所以 \( \alpha\beta \lt 4 \)。
得證。 報錯
ChatGPT DeepSeek
107指考數學乙試題-1)
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本100萬元，此次進口上限20台，售出一台淨利潤11萬元；乙廠牌汽車每台成本120萬元，此次進口上限30台，售出一台淨利潤12萬元。今車商準備4400萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。
答案
107指考數學乙試題-2)
(2) 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。
答案
約束：
1. \(100x + 120y \leq 4400\) → \(5x + 6y \leq 220\)
2. \(0 \leq x \leq 20\)
3. \(0 \leq y \leq 30\)
交點：
- \(5x+6y=220\) 與 \(x=0\)：\(y=220/6=36.67\) 超出 30，取 \(y=30\) 時 \(x=(220-180)/5=8\)
- \(5x+6y=220\) 與 \(y=0\)：\(x=44\) 超出 20，取 \(x=20\) 時 \(y=(220-100)/6=20\)
可行解區域為四邊形頂點 \((0,0)\), \((0,30)\), \((8,30)\), \((20,20)\), \((20,0)\) 的凸多邊形。 報錯
ChatGPT DeepSeek
107指考數學乙試題-3)
(3) 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？
答案
