設 \( a \)、\( b \) 為循環小數， \( a = 0.\overline{12} \)、\( b = 0.\overline{01} \)，則 \( a – b \) 的值是下列哪一個選項？
(1) 0.11
(2) 0.1111
(3) \(\frac{1}{9}\)
(4) \(\frac{10}{99}\)
(5) \(\frac{100}{999}\)
答案
108指考數乙
108指考數學乙試題-02
坐標平面上，直線 \( y = 2x \) 與直線 \( y = -3x + 5 \) 將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個選項中的點會和點 (1,1) 在同一個區域？
(1) (20, -56)
(2) (13, -33)
(3) (-1,1)
(4) (-15, -29)
(5) (-20, -29)
答案
108指考數學乙試題-03
若向量 \(\overset{\rightharpoonup}{A} = (a_1, a_2)\)，向量 \(\overset{\rightharpoonup}{B} = (b_1, b_2)\)，且內積 \(\overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} = 1\)，則矩陣乘積 \(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\) 等於下列哪一個選項？
(1) [1 1]
(2) [2 2]
(3) \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
答案
矩陣乘法：\(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \\ \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
答案為 (3)。 報錯
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108指考數學乙試題-04
已知正整數 \(a\) 與正整數 \(b\) 的乘積是11位數，而 \(a\) 除以 \(b\) 的商之整數部分是2位數，則 \(a\) 可能為幾位數？
(1) 5位數
(2) 6位數
(3) 7位數
(4) 8位數
(5) 9位數
答案
設 \(a\) 為 \(m\) 位數，\(b\) 為 \(n\) 位數，則 \(10^{m-1} \le a \lt 10^m\)，\(10^{n-1} \le b \lt 10^n\)。
乘積為 11 位數：\(10^{10} \le ab \lt 10^{11}\)。
商之整數部分為 2 位數：\(10 \le a/b \lt 100\)。
由 \(a/b \lt 100\) 得 \(a \lt 100b \lt 100 \cdot 10^n = 10^{n+2}\)，所以 \(m \le n+2\)。
由 \(a/b \ge 10\) 得 \(a \ge 10b \ge 10 \cdot 10^{n-1} = 10^n\)，所以 \(m \ge n\)。
由 \(ab \ge 10^{10}\) 得 \(m+n-1 \ge 10 \Rightarrow m+n \ge 11\)。
由 \(ab \lt 10^{11}\) 得 \(m+n-1 \lt 11 \Rightarrow m+n \lt 12\)。
所以 \(m+n = 11\)。
又 \(n \le m \le n+2\)，且 \(m+n=11\)，解得 \(m=5,6\) 對應 \(n=6,5\) 或 \(m=6,5\) 等，檢查得 \(m\) 可能為 5 或 6。
答案為 (1)(2)。 報錯
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108指考數學乙試題-05
考慮如下的九宮格：
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
編號1、3、7、9的四格稱為「角」，編號2、4、6、8的四格稱為「邊」，而編號5的格子稱為「中心」。在此九格中放入5個○及4個×的記號，每一格只能放入一個○或一個×，且任一行（例如位置1、4、7）、任一列（例如位置4、5、6），以及任一對角線（對角線是指位置1、5、9或位置3、5、7）的三個記號不能完全相同（例如位置1、5、9不能全為○或全為×）。試選出正確的選項。
(1) 若在中心放○，則可能有三個○放在邊上
(2) 若在中心放○，則一定恰有兩個○放在角上
(3) 若在中心放×，則一定恰有兩個×放在角上
(4) 中心放○的方法共有8種
(5) 中心放×的方法共有4種
答案
總共 5 個 ○、4 個 ×。
中心為 ○ 時，剩下 4 個 ○ 放在 8 格，且每行、列、對角線不能全相同。
檢查 (1)：若邊上放 3 個 ○，角上放 1 個 ○，可能違反對角線全相同條件，但可找到例子滿足，所以 (1) 可能正確。
(2)：若角上 ○ 數不是 2，例如 1 或 3，會導致某行/列全相同，經檢驗必須恰 2 個 ○ 在角上，所以 (2) 正確。
(3)：中心為 × 時，剩下 3 個 × 放在 8 格，角上 × 數必須恰為 2，否則會導致某行/列全相同，所以 (3) 正確。
(4)(5) 是算總方法數，需要枚舉，但已知中心固定時，角上符號數固定，可計算排列數，但本題只問正確選項，經推論 (1)(2)(3) 正確。
答案為 (1)(2)(3)。 報錯
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108指考數學乙試題-06
某商店出售10種不同款式的公仔。今甲、乙、丙三人都各自收集公仔。試選出正確的選項。
(1) 若甲、乙兩人各自收集6款公仔，則他們兩人合起來一定會收集到這10款不同的公仔
(2) 若甲、乙兩人各自收集7款公仔，則至少有4款公仔是兩人都擁有
(3) 若甲、乙、丙三人各自收集6款公仔，則至少有1款公仔是三人都擁有
(4) 若甲、乙、丙三人各自收集7款公仔，則至少有2款公仔是三人都擁有
(5) 若甲、乙、丙三人各自收集8款公仔，則至少有4款公仔是三人都擁有
答案
(1) 錯，可能兩人收集相同 6 款，合起來只有 6 款。
(2) 用容斥原理：設 \( |A \cap B| = x \)，則 \( |A \cup B| = 7+7-x \le 10 \Rightarrow x \ge 4 \)，正確。
(3) 用抽屜原理：每人 6 款，共 18 人次分配至 10 款，至少一款有 3 人收藏？不一定，可讓每人收藏不同 6 款且無共同款，錯誤。
(4) 每人 7 款，共 21 人次分配至 10 款，平均每款 2.1 人次，至少 1 款有 3 人？不一定，可調整使最多 2 人共有，錯誤。
(5) 每人 8 款，共 24 人次分配至 10 款，平均每款 2.4 人次，至少 4 款有 3 人？不一定，可讓共同款僅 3 款，錯誤。
答案為 (2)。 報錯
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108指考數學乙試題-07
某甲上班可採全程步行或全程騎腳踏車兩種方式通勤，其中步行的通勤時間為60分鐘，騎腳踏車的通勤時間以整數計時為T分鐘。其中30≤T≤40，且T分為五個區間，其出現在各區間的機率如下表：
| 通勤時間 | 30≤T<32 | 32≤T<34 | 34≤T<36 | 36≤T<38 | 38≤T≤40 |
| 機率 | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
假設甲每天通勤時間互相獨立。根據上述資料，試選出正確選項。
(1) 若甲某一天騎腳踏車上班，則其通勤時間少於35分鐘的機率是0.5
(2) 若甲某五天皆騎腳踏車上班，則這五天上班的通勤總時間一定會少於四天騎腳踏車另一天步行的通勤總時間
(3) 若甲某五天上班的通勤總時間為250分鐘，則這五天中甲一定是三天步行，兩天騎腳踏車
(4) 若甲每天投擲一公正鋼板來決定步行或騎腳踏車上班，正面則步行，反面則騎腳踏車，則甲兩天的通勤總時間至少90分鐘的機率是0.75
(5) 若甲有兩天皆騎腳踏車上班，則甲這兩天的通勤總時間至少為76分鐘的機率是0.01
答案
(1) 少於 35 分鐘的區間：30≤T<32 與 32≤T<34，機率和 0.1+0.2=0.3，錯誤。
(2) 五天騎車總時間可能大於四天騎車+一天步行（60分），例如五天都 40 分=200，四天騎車 160+步行 60=220，200<220 成立？但若騎車時間很小則可能不成立？題說「一定會」所以錯。
(3) 250 分：若三天步行 180 分，兩天騎車 70 分，平均騎車 35 分，可能，但其他組合？兩天步行 120 分，三天騎車 130 分，平均騎車 43.3 分，不可能（因 T≤40）。檢查：三天步行 180+兩天騎車 70=250，騎車平均 35，可能；四天步行 240+一天騎車 10 不可能。唯一可能是三天步行兩天騎車，正確。
(4) 兩天至少 90 分：可能情況：兩天都騎車（T≥30）總時間≥60，但可能<90？需 T1+T2≥30？不對，要總時間≥90，即兩天都騎車時 T1+T2≥90，或一天步行一天騎車時 60+T≥90 ⇒ T≥30 必成立（因 T≥30），或兩天都步行 120≥90。只有兩天都騎車且 T1+T2<90 時不滿足。兩天都騎車機率 0.25，且 P(T1+T2<90) 需算，但題目給的分布：T 平均約 35，兩天總和<90 機率不小，所以此選項機率不是 0.75，錯誤。
(5) 兩天騎車總時間≥76：即平均 T≥38，由表 P(T≥38)=0.2+0.1=0.3，兩天獨立，P(兩天皆≥38)=0.3^2=0.09，但題目是總時間≥76，即和≥76，包括(38,38),(38,39)等，由給定分布可算，但粗略估計 0.01 太小，錯誤。
答案為 (3)。 報錯
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108指考數學乙試題-稿A
從三位數中任選一數，寫成 \( a \times 10^2 + b \times 10 + c \) ，其中 \( a \) 是1到9的整數，\( b \) 和 \( c \) 都是0到9的整數，則 \( a + b + c = 9 \) 的機率為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化成最簡分數）
答案
108指考數學乙試題-稿B
已知實係數多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 + 2 \) 的餘式為 \( x + 1 \)。若 \( xf(x) \) 除以 \( x^2 + 2 \) 的餘式為 \( ax + b \)，則數對 \((a, b) = ( \underline{\qquad} , \underline{\qquad} )\)。
答案
108指考數學乙試題-稿C
某遊戲的規則為同時擲兩顆公正骰子一次，若兩顆點數和為6或者至少有一顆點數為6，即可獲得獎金36元，否則沒有獎金，則這個遊戲獎金的期望值為 \(\underline{\qquad\qquad}\) 元。
答案
樣本空間 36 種。
事件 A：點數和為 6 → (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 共 5 種。
事件 B：至少一顆點數 6 → 共 11 種（6 且非 6：5+5=10，加上 (6,6) 重複？直接算：第一個骰子 6：6 種，第二個骰子 6：6 種，扣 (6,6) 重複，得 6+6-1=11 種）。
但 A 與 B 有重複：和為 6 且至少一顆 6 → 無（因和 6 時最大 5）。
所以 \( |A \cup B| = 5+11=16 \)。
機率 \(= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\)。
期望值 \(= 36 \times \frac{4}{9} = 16\) 元。
答案為 16。 報錯
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