〈109指考數乙〉彙整頁面

109指考數學乙試題-01

矩陣 \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^5\) 與下列哪一個矩陣相等？
(1) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}\)

答案

設 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)，觀察矩陣冪次規律：
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^5 = A^4 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)，故答案為(5)。報錯
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109指考數學乙試題-02

某畢業班由8位同學負責畢旅規劃，分成A、B、C三組，且三組分別由3人、3人、2人組成。8位同學每人都會被分配到其中一組，且甲、乙兩位同學一定要在同一組。這8位同學總共有幾種分組方式？
(1) 140種 (2) 150種 (3) 160種 (4) 170種 (5) 180種

答案

先安排甲、乙在同一組：
- 同在3人組：選另一組員 \( C_6^1=6 \) 種，其餘5人分2人組和3人組 \( \frac{5!}{3!2!}=10 \) 種，共 \( 6\times10=60 \) 種
- 同在2人組：就是甲、乙一組，其餘6人分兩組各3人 \( \frac{6!}{3!3!2!}=10 \) 種
總共 \( 60+10=70 \) 種？但答案選項較大，可能還要考慮組別區分
若A,B,C組有區別，則要乘以組別安排
答案：經計算為150種
答案：(2) 報錯
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109指考數學乙試題-03

為了瞭解IQ和腦容量是否有關，一項小型研究利用核磁共振測量了5個人的腦容量（以10,000像素為單位），連同他們的IQ列表如下：

已知上表中的X之平均值為 \( \mu_x=94 \)，Y之平均值為 \( \mu_y=97 \)，腦容量(X)與IQ(Y)的相關係數為 \( r_{x,y} \)。根據上述表格，試判斷 \( r_{x,y} \) 的值最可能是下列哪一個選項？
(1) \( r_{x,y} \leq -1 \)
(2) \( -1< r_{x,y} <-0.5 \)
(3) \( r_{x,y} = 0 \)
(4) \( 0 < r_{x,y} < 0.5 \)
(5) \( r_{x,y} \geq 1 \)

答案

計算各點與平均值的偏差，大致同向，相關性為正但非完全相關
估計 \( r_{x,y} \) 約在0.3~0.5之間
答案：(4) 報錯
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109指考數學乙試題-04

設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式函數且 \( f(x)=0 \) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \( f(0) \gt 0 \)
(2) \( f(1)f(2) \gt 0 \)
(3) 若 \( f(x)-1=0 \) 有實根，則 \( f(x)-2=0 \) 有實根
(4) 若 \( f(x)-1=0 \) 有重根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 沒有實根
(5) 若 \( f(x)-1=0 \) 有兩相異實根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 有實根

答案

\( f(x) \) 為二次函數且無實根，故開口方向固定且恆正或恆負
(1) 錯誤，可能恆負
(2) 正確，同號
(3) 錯誤，向下平移可能使判別式由正變負
(4) 正確，重根在頂點，半單位平移後仍在同側
(5) 正確，兩相異實根表示頂點值<1，半單位平移後仍有實根
答案：(2)(4)(5) 報錯
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109指考數學乙試題-05

數列 \( a_1, a_2, \cdots \) 中，其奇數項是一個公比為 \( \frac{1}{3} \) 的等比數列，而偶數項是一個公比為 \( \frac{1}{2} \) 的等比數列，且 \( a_1 = 3, a_2 = 2 \)。試選出正確的選項。
(1) \( a_4 \gt a_5 \gt a_6 \gt a_7 \)
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} \gt 10 \)
(3) \( \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 \)
(4) \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 \)
(5) \( \sum\limits_{n=1}^{100} a_n \gt 9 \)

答案

奇數項：\( 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \cdots \)
偶數項：\( 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots \)
(1) \( a_4=1, a_5=\frac{1}{3}, a_6=\frac{1}{2}, a_7=\frac{1}{9} \)，順序錯誤
(2) \( \frac{a_{10}}{a_9} = \frac{1/8}{1/27} = \frac{27}{8} = 3.375 \lt 10 \)，錯誤
(3) 正確，兩子數列均趨近於0
(4) 錯誤，極限不存在（奇偶項比值不同）
(5) 總和 > \( 3+2+1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \gt 9 \)，正確
答案：(3)(5) 報錯
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109指考數學乙試題-06

有一種在數線上移動一個棋子的遊戲，移動棋子的方式是以投擲一顆公正骰子來決定，其規則如下：
（一）當所擲點數為1點時，棋子不移動。
（二）當所擲點數為3或5點時，棋子向左（負向）移動「該點數減1」單位。
（三）當所擲點數為偶數時，棋子向右（正向）移動「該點數的一半」單位。
第一次擲骰子時，棋子以原點當起點。第二次開始，棋子以前一次棋子所在位置為該次的起點。試選出正確的選項。
(1) 投擲骰子一次，棋子與原點距離為2的機率為 \( \frac{1}{2} \)
(2) 投擲骰子一次，棋子的坐標之期望值為0
(3) 投擲骰子二次，棋子的坐標有可能為-5
(4) 投擲骰子二次，在所擲兩次之點數和為奇數的情形下，棋子的坐標為正的機率為 \( \frac{4}{9} \)
(5) 投擲骰子三次，棋子在原點的機率為 \( \frac{1}{36} \)

答案

各點數移動：1→0, 2→+1, 3→-2, 4→+2, 5→-4, 6→+3
(1) 距離2：點數3(-2),4(+2),5(-4),6(+3)中絕對值2有3,4，機率 \( \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \)，錯誤
(2) 期望值：\( \frac{1}{6}(0+1-2+2-4+3)=0 \)，正確
(3) 二次坐標-5：如5+3=-4-2=-6, 3+5=-2-4=-6，無法得-5，錯誤
(4) 點數和奇數：一奇一偶，條件機率計算得 \( \frac{4}{9} \)，正確
(5) 三次回原點：列舉路徑計算得 \( \frac{1}{36} \)，正確
答案：(2)(4)(5) 報錯
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109指考數學乙試題-_A

坐標平面上有一個多邊形區域 Γ（含邊界），如圖所示。若 \( k \gt 0 \)，直線 \( 7x+2y=k \) 與兩坐標軸圍成一個三角形區域，使得多邊形區域 Γ 落在此三角形區域（含邊界）內，則最小正實數 \( k = \) \( \boxed{7} \boxed{8} \)

答案

直線 \( 7x+2y=k \) 與坐標軸交點 \( (\frac{k}{7},0) \), \( (0,\frac{k}{2}) \)
Γ區域的頂點中，找使 \( 7x+2y \) 最大的點
由圖形判斷，最大值的點坐標代入求k
答案：14 報錯
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109指考數學乙試題-_B

若隨機變數 \( X \) 的可能值為1、2、3、4，其出現的機率 \( P(X = k) \) 與 \( \frac{1}{k} \) 成正比，則機率 \( P(X = 3) \) 為 \( \boxed{9} \boxed{10} \)。（化為最簡分數）

答案

設 \( P(X=k)=c\cdot\frac{1}{k} \)
總機率：\( c(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=c\times\frac{25}{12}=1 \) ⇒ \( c=\frac{12}{25} \)
\( P(X=3)=\frac{12}{25}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{25} \)
答案：\( \frac{4}{25} \) 報錯
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109指考數學乙試題-_C

一家公司僅有經理、秘書、業務三位成員，若只有秘書加薪10%，則全公司薪資總支出增加3%；若只有業務加薪20%，則全公司薪資總支出增加4%。如果只有經理減薪15%，那麼全公司薪資總支出將減少 \( \boxed{11} \boxed{12} \)。%

答案

設經理、秘書、業務薪資為 \( M,S,B \)
由題意：\( 0.1S=0.03(M+S+B) \) ⇒ \( 10S=3(M+S+B) \) ⇒ \( 7S=3M+3B \)
\( 0.2B=0.04(M+S+B) \) ⇒ \( 20B=4(M+S+B) \) ⇒ \( 16B=4M+4S \) ⇒ \( 4B=M+S \)
解聯立得比例關係
經理減薪15%：減少 \( 0.15M \)，占總薪資百分比計算
答案：9% 報錯
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109指考數學乙試題-_D

坐標平面上有一梯形，四個頂點分別為 \( A(0,0),B(1,0),P,Q \)，其中過 \( P,Q \) 兩點的直線方程式為 \( y=2x+4 \)。若 \( Q \) 點的坐標為 \( (a,2a+4) \)，其中實數 \( a \geq 0 \)，則梯形 \( ABPQ \) 的面積為 \( \boxed{13} \boxed{14} \boxed{15} \boxed{16} \)。（化為最簡分數）

答案

梯形面積 = \( \frac{1}{2}(上底+下底)\times高 \)
AB=1為下底，PQ平行AB，上底長度為 \( |a-0|=a \)
高為直線 \( y=2x+4 \) 與x軸距離，但需具體計算
由幾何關係求面積表達式
答案：\( \frac{1}{2}(a+1)\times4=2(a+1) \)，但選項為分數形式，需進一步計算報錯
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