數學指考分科-乙
107指考數學乙試題-2)
(2) 若 \( f(x) = a(x – k)^2 + b \)，且 \( y = f(x) \) 的圖形與 x 軸交於相異兩點，試判斷 ab 乘積的值為正或負，並請說明理由。
答案
107指考數學乙試題-3)
(3) 若方程式 \( f(x) = 0 \) 有相異實根，試證兩根之積小於 4。
答案
設 \( f(x) = a(x+2)^2 + b \)，且 \( f(x) = 0 \) 有兩相異實根 \( \alpha, \beta \)。
由 \( a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow a(x^2 + 4x + 4) + b = 0 \Rightarrow ax^2 + 4a x + (4a+b) = 0 \)。
根與係數：\( \alpha\beta = \frac{4a+b}{a} = 4 + \frac{b}{a} \)。
由 (2) 知 \( \frac{b}{a} \lt 0 \)，所以 \( \alpha\beta \lt 4 \)。
得證。 報錯
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107指考數學乙試題-1)
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本100萬元，此次進口上限20台，售出一台淨利潤11萬元；乙廠牌汽車每台成本120萬元，此次進口上限30台，售出一台淨利潤12萬元。今車商準備4400萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。
答案
107指考數學乙試題-2)
(2) 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。
答案
約束：
1. \(100x + 120y \leq 4400\) → \(5x + 6y \leq 220\)
2. \(0 \leq x \leq 20\)
3. \(0 \leq y \leq 30\)
交點：
- \(5x+6y=220\) 與 \(x=0\)：\(y=220/6=36.67\) 超出 30，取 \(y=30\) 時 \(x=(220-180)/5=8\)
- \(5x+6y=220\) 與 \(y=0\)：\(x=44\) 超出 20，取 \(x=20\) 時 \(y=(220-100)/6=20\)
可行解區域為四邊形頂點 \((0,0)\), \((0,30)\), \((8,30)\), \((20,20)\), \((20,0)\) 的凸多邊形。 報錯
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107指考數學乙試題-3)
(3) 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？
答案
105指考數學乙試題-01
下列哪一個選項是方程式 \( 7x^5 – 2x^4 + 14x^3 – 4x^2 + 7x – 2 = 0 \) 的根？
(1) \(-1\) (2) \(\frac{1}{7}\) (3) \(\frac{1}{7}\) (4) \(\frac{2}{7}\) (5) \(\frac{-2}{7}\)
答案
用一次因式檢驗法（有理根定理）：可能的有理根為 \(\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{2}{7}\)。
測試 \(x = \frac{1}{7}\)：代入得 \(7(\frac{1}{7})^5 - 2(\frac{1}{7})^4 + 14(\frac{1}{7})^3 - 4(\frac{1}{7})^2 + 7(\frac{1}{7}) - 2 = \frac{1}{2401} - \frac{2}{2401} + \frac{14}{343} - \frac{4}{49} + 1 - 2\)，計算得 0。
所以 \(\frac{1}{7}\) 是根。
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105指考數學乙試題-02
考慮有理數 \(\frac{n}{m}\)，其中 \( m \)、\( n \) 為正整數且 \( 1 \leq mn \leq 8 \)。則這樣的數值（例如 \(\frac{1}{2} \)與 \(\frac{2}{4} \)同值，只算一個）共有幾個？
(1) 14個 (2) 15個 (3) 16個 (4) 17個 (5) 18個
答案
列出所有 \(m, n\) 正整數且 \(mn \leq 8\)，化為最簡分數後去重複：
\(m=1\)：\(n=1,\dots,8\) → 1,2,3,4,5,6,7,8
\(m=2\)：\(n=1,\dots,4\) → 1/2, 1, 3/2, 2 (去重複後得 1/2, 3/2)
\(m=3\)：\(n=1,2\) → 1/3, 2/3
\(m=4\)：\(n=1,2\) → 1/4, 1/2(重複), 2/4=1/2(重複) → 得 1/4
\(m=5\)：\(n=1\) → 1/5
\(m=6\)：\(n=1\) → 1/6
\(m=7\)：\(n=1\) → 1/7
\(m=8\)：\(n=1\) → 1/8
總共：8 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 個。
答案為 (4)。 報錯
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105指考數學乙試題-03
坐標平面上有兩向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10) \)，\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)。請問下列哪一個向量的長度最大？
(1) \(-3 \overset{\rightharpoonup}{u}\)
(2) \(6 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(3) \(-2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(4) \(2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(5) \(\overset{\rightharpoonup}{u} + 7 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
答案
\(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10)\)，長度 \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)；\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)，長度 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。
(1) 長度 \(3\times 5\sqrt{5}=15\sqrt{5}\)
(2) 長度 \(6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}\)
(3) 向量 \((-10,-20) - (-20,10) = (10,-30)\)，長度 \(\sqrt{100+900}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(4) 向量 \((10,20) - (-20,10) = (30,10)\)，長度 \(\sqrt{900+100}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(5) 向量 \((5,10) + (-28,14) = (-23,24)\)，長度 \(\sqrt{529+576}=\sqrt{1105} \approx 33.24\)
最大為 (5)。
答案為 (5)。 報錯
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105指考數學乙試題-04
設\(f(x)\)為一未知的實係數多項式，但知道\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)^2\)的餘式為\(5x^2+6x+7\)。根據上述所給條件，請選出正確的選項。
(1) 可求出\(f(0)\)之值
(2) 可求出\(f(1)\)之值
(3) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)^2\)的餘式
(4) 可求出\(f(x)\)除以\((x-6)^2\)的餘式
(5) 可求出\(f(x)\)除以\((x-5)(x-6)\)的餘式
答案
設 \(f(x) = (x-5)(x-6)^2 Q(x) + 5x^2+6x+7\)。
(1) \(f(0) = 7\) 可求，正確。
(2) \(f(1) = 5+6+7=18\) 可求，正確。
(3) 欲求 \(f(x)\) 除以 \((x-5)^2\) 的餘式，設餘式 \(ax+b\)，由 \(f(5)=5\cdot 25+6\cdot 5+7=125+30+7=162\) 得 \(5a+b=162\)，但還需 \(f'(5)\)，而 \(f'(x)\) 可由餘式 \(5x^2+6x+7\) 在 \(x=5\) 的導數求得（因另一項在 \(x=5\) 時為0），\(f'(5)=10\cdot 5+6=56\)，又 \(f'(x)\) 對餘式部分為 \(a\)，所以 \(a=56\)，則 \(b=162-280=-118\)，可求，正確。
(4) 類似 (3)，用 \(x=6\) 及導數，可求，正確。
(5) 除以 \((x-5)(x-6)\) 的餘式次數 ≤1，設 \(ax+b\)，由 \(f(5)=162\)，\(f(6)=5\cdot 36+6\cdot 6+7=180+36+7=223\)，解 \(5a+b=162\)，\(6a+b=223\) 得 \(a=61\)，\(b=-143\)，可求，正確。
答案為 (1)(2)(3)(4)(5)。 報錯
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