數學指考分科-乙

(1) \( C_2^1 (\frac{1}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \)，正確
(2) \( C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{8} \)，錯誤
(3) 奇數次：1次或3次，機率 \( C_4^1+C_4^3 = 4+4=8 \)種，\( 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2} \)，正確
(4) 條件機率，第2次射中機率 \( \frac{1}{2} \)（獨立事件），正確
(5) 前2次恰中1次條件下，後4次恰中2次機率 = \( C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{8} \)，錯誤
答案：(1)(3)(4) 報錯
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\( OB=10 \)，\( AC=|x+2| \)，\( BC=|x-10| \)。條件：\( |x-10| < |x+2| < 10 \)。
解 \( |x-10| < |x+2| \)：平方得 \( x^2-20x+100 < x^2+4x+4 \)，\( -24x < -96 \)，\( x > 4 \)。
解 \( |x+2| < 10 \)：\( -10 < x+2 < 10 \)，\( -12 < x < 8 \)。
交集得 \( 4 < x < 8 \)。答案：\( 4 < x < 8 \) 報錯
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設 \( P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)，則 \( P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)。
\( A = P \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} P^{-1} \)，\( B = P \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} P^{-1} \)。
\( A+B = P\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)P^{-1} = P \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} P^{-1} = 7PP^{-1} = 7I \)。
故 \( A+B = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \)，\( a+b+c+d=7+0+0+7=14 \)。答案：14 報錯
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設正面次數為k，反面次數為6-k。最終位置：\( x = -k + (6-k) = 6-2k \)，\( y = 2k \)。
機率 \( P(k) = C_6^k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{6-k} \)。比較相鄰機率：
\( \frac{P(k)}{P(k-1)} = \frac{C_6^k}{C_6^{k-1}} \cdot \frac{1/3}{2/3} = \frac{6-k+1}{k} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7-k}{2k} \)。
當 \( \frac{7-k}{2k} > 1 \) 時遞增，即 \( 7-k > 2k \)，\( 7 > 3k \)，\( k < 2.33 \)。故k=0,1,2遞增，k=2後遞減。最大機率在k=2。
此時坐標 \( x=6-4=2 \)，\( y=4 \)。答案：(2,4) 報錯
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\(\overrightarrow{AB} = B - A = (3-(-3), 2-4) = (6,-2)\)
\(\overrightarrow{n} = (4,-3)\)
內積 \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = 6\times4 + (-2)\times(-3) = 24 + 6 = 30\)
答案：30 報錯
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設直線 \(L: 4x-3y+k=0\)（法向量為(4,-3)）
A到L距離：\(\frac{|4(-3)-3(4)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-12-12+k|}{5} = \frac{|k-24|}{5}\)
B到L距離：\(\frac{|4(3)-3(2)+k|}{5} = \frac{|12-6+k|}{5} = \frac{|k+6|}{5}\)
依題意：\(\frac{|k-24|}{5} = 5 \times \frac{|k+6|}{5}\) ⇒ \(|k-24| = 5|k+6|\)
平方：\((k-24)^2 = 25(k+6)^2\)
\(k^2-48k+576 = 25k^2+300k+900\)
\(24k^2+348k+324=0\) ⇒ \(2k^2+29k+27=0\)
\((2k+27)(k+1)=0\) ⇒ \(k=-13.5\) 或 \(k=-1\)
但A,B在L兩側，需滿足\((4(-3)-3(4)+k)(4(3)-3(2)+k) \lt 0\)
檢驗：
k=-13.5：\((-12-12-13.5)(12-6-13.5)=(-37.5)(-7.5) \gt 0\)（同側）
k=-1：\((-12-12-1)(12-6-1)=(-25)(5) \lt 0\)（異側）
故 \(k=-1\)，直線 \(L: 4x-3y-1=0\)
答案：\(4x-3y-1=0\) 報錯
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\(\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PB}\) 表示 \(P\) 為 \(AB\) 的中垂線與 \(L\) 的交點
AB中點 \(M=(\frac{-3+3}{2},\frac{4+2}{2})=(0,3)\)
AB向量 \(\overrightarrow{AB}=(6,-2)\)，中垂線法向量為(6,-2)
中垂線方程：\(6(x-0)-2(y-3)=0\) ⇒ \(6x-2y+6=0\) ⇒ \(3x-y+3=0\)
與 \(L: 4x-3y-1=0\) 聯立：
由 \(3x-y+3=0\) 得 \(y=3x+3\)，代入L：\(4x-3(3x+3)-1=0\) ⇒ \(4x-9x-9-1=0\) ⇒ \(-5x-10=0\) ⇒ \(x=-2\)
\(y=3(-2)+3=-3\)
故 \(P(-2,-3)\)
答案：\((-2,-3)\) 報錯
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甲型售價：\(56x + 26y + 48\times\frac{x+y}{2} = 56x + 26y + 24x + 24y = 80x + 50y\)
乙型售價：\(40x + 20y + 56\times\frac{x+y}{2} = 40x + 20y + 28x + 28y = 68x + 48y\)
售價差距：\((80x+50y) - (68x+48y) = 12x + 2y\)
由於 \(x\geq 1\)，\(y\geq 1\)，故 \(12x+2y \geq 12+2=14 > 0\)
因此甲型售價必定高於乙型售價
答案：甲型 \(80x+50y\)，乙型 \(68x+48y\)，差距恆正 報錯
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條件：
1. \(1\leq x\leq 2\)
2. \(1\leq y\leq 2\)
3. 甲型售價 \(\leq 200\)：\(80x+50y\leq 200\) ⇒ \(8x+5y\leq 20\)
4. 乙型售價 \(\leq 200\)：\(68x+48y\leq 200\) ⇒ \(17x+12y\leq 50\)
在 \(1\leq x\leq 2\)，\(1\leq y\leq 2\) 範圍內，畫出四條直線圍成的可行區域
答案：以\((1,1)\)、\((1,2)\)、\((2,1)\)等點檢驗，找出滿足所有不等式的區域 報錯
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目標函數：差距 \(f(x,y) = 12x + 2y\)
在可行區域頂點求最大值：
頂點：
1. \((1,1)\)：\(f=12+2=14\)
2. \((1,2)\)：\(f=12+4=16\)
3. \((2,1)\)：\(f=24+2=26\)
4. \((2,2)\)：檢查是否在可行域：\(8\times2+5\times2=26>20\)（不可行）
5. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(x=2\) 交點：\(16+5y=20\) ⇒ \(y=0.8\)（不可行，y<1）
6. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(y=2\) 交點：\(8x+10=20\) ⇒ \(x=1.25\) ⇒ \((1.25,2)\)：\(f=15+4=19\)
7. 交點：\(17x+12y=50\) 與 \(x=2\) 交點：\(34+12y=50\) ⇒ \(y=\frac{4}{3}\approx 1.33\) ⇒ \((2,1.33)\)：\(f=24+2.67=26.67\)
8. 交點：\(17x+12y=50\) 與 \(y=2\) 交點：\(17x+24=50\) ⇒ \(x=\frac{26}{17}\approx 1.53\) ⇒ \((1.53,2)\)：\(f=18.36+4=22.36\)
9. 交點：\(8x+5y=20\) 與 \(17x+12y=50\) 聯立：
\(96x+60y=240\)，\(85x+60y=250\)，相減得 \(11x=-10\) ⇒ \(x<0\)（不可行）
最大值在 \((2,1.33)\)，但需檢查是否在可行域：
\(8\times2+5\times1.33=16+6.65=22.65>20\)（不可行）
重新檢驗：在 \(x=2\) 時，需滿足 \(8\times2+5y\leq 20\) ⇒ \(16+5y\leq 20\) ⇒ \(y\leq 0.8\)，但 \(y\geq 1\)，矛盾
故 \(x=2\) 時無可行解
最大值應在邊界 \(8x+5y=20\) 上，且 \(x=2\) 時 \(y=0.8\) 不可行，故最大值在 \(y=2\) 時 \(x=1.25\)，\(f=19\)
或在 \(17x+12y=50\) 上，當 \(x\) 最大時 \(f\) 最大，但需滿足 \(8x+5y\leq 20\)
經計算，最大值在 \((1.25,2)\)，\(f=19\)
答案：\(x=1.25\)，\(y=2\)，差距19萬元 報錯
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