一. 據說，「六人國」是因為200年前該國僅有6個人而得名。人口學家估算：過去200年來，已知該國人口數以平均年成長率為 \( \frac{1}{16} \) 的速率增加，即平均每年增加的人口數為前一年總人口數的 \( \frac{1}{16} \)。利用參考數據：\( \log 2 \approx 0.3010, \log 3 \approx 0.4771 \)，試回答下列問題。
(1) 已知連續兩年中，第一年「六人國」的人口數為 \( a \)，第二年的人口數為 \( ka \)，試求 \( k \) 的值。
一、(2) 利用 \( \log 16 \) 與 \( \log 18 \) 的近似值，以內差法求 \( \log 17 \) 的近似值。（計算至小數點後第四位）
[非選擇題]一、(3) 已知「六人國」現在的人口數很接近 \( 10^n \)（其中 \( n \) 為正整數），試求正整數 \( n \) 的值。
[非選擇題]初始6人，經過200年，人口數 = \( 6\times(\frac{17}{16})^{200} \)
取對數：\( \log[6\times(\frac{17}{16})^{200}] = \log 6 + 200\log\frac{17}{16} \)
\( \log 6=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781 \)
\( \log\frac{17}{16}=\log 17-\log 16=1.2296-1.2040=0.0256 \)
總和 = \( 0.7781+200\times0.0256=0.7781+5.12=5.8981 \)
故 \( n=5 \)
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二. 等比數列 \( \langle a_n \rangle \) 的前三項可表為 \(\begin{cases} a_1 = x^2 + x + 3 \\ a_2 = 2x + 2 \\ a_3 = x + 2 \end{cases}\)，其中 \( x \) 為實數。試回答下列問題。
(1) 試求 \( x \) 的所有可能值。
二、(3) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 並不是每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
[非選擇題]矩陣 \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^5\) 與下列哪一個矩陣相等？
(1) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}\)
設 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)，觀察矩陣冪次規律：
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^5 = A^4 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)，故答案為(5)。 報錯
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某畢業班由8位同學負責畢旅規劃，分成A、B、C三組，且三組分別由3人、3人、2人組成。8位同學每人都會被分配到其中一組，且甲、乙兩位同學一定要在同一組。這8位同學總共有幾種分組方式？
(1) 140種 (2) 150種 (3) 160種 (4) 170種 (5) 180種
為了瞭解IQ和腦容量是否有關，一項小型研究利用核磁共振測量了5個人的腦容量（以10,000像素為單位），連同他們的IQ列表如下：
已知上表中的X之平均值為 \( \mu_x=94 \)，Y之平均值為 \( \mu_y=97 \)，腦容量(X)與IQ(Y)的相關係數為 \( r_{x,y} \)。根據上述表格，試判斷 \( r_{x,y} \) 的值最可能是下列哪一個選項？
(1) \( r_{x,y} \leq -1 \)
(2) \( -1< r_{x,y} <-0.5 \)
(3) \( r_{x,y} = 0 \)
(4) \( 0 < r_{x,y} < 0.5 \)
(5) \( r_{x,y} \geq 1 \)
設 \( f(x) \) 為二次實係數多項式函數且 \( f(x)=0 \) 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) \( f(0) \gt 0 \)
(2) \( f(1)f(2) \gt 0 \)
(3) 若 \( f(x)-1=0 \) 有實根，則 \( f(x)-2=0 \) 有實根
(4) 若 \( f(x)-1=0 \) 有重根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 沒有實根
(5) 若 \( f(x)-1=0 \) 有兩相異實根，則 \( f(x)-\frac{1}{2}=0 \) 有實根
