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數學指考分科-甲

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109指考數學甲(補考)試題-2)

坐標空間中，設\(E\)為過原點且由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出的平面。將空間中兩點\(A\)、\(B\)垂直投影到平面\(E\)上，所得投影點依序為\(A’\)、\(B’\)兩點。已知\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，試證明\(\overrightarrow{A’B’}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)。(2分)

[非選擇題]
答案

設向量\(\overrightarrow{AB}=\vec{w}\)，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)上的投影向量為\(\overrightarrow{A'B'}\)。
根據向量投影的性質，向量\(\vec{w}\)在平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)方向上的分量被去掉，而\(\vec{u}\)在平面\(E\)上，所以\(\overrightarrow{AB}\)在\(\vec{u}\)方向上的分量在投影過程中不變。
即\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}\)（向量在平面上的投影向量與平面內向量的數量積等於原向量與該平面內向量的數量積，可由向量投影的幾何意義得出）。 報錯
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109指考數學甲(補考)試題-3)

坐標空間中，設\(E\)為過原點且由向量\(\vec{u}=(2,0,1)\)、\(\vec{v}=(0,1,1)\)所張出的平面。將空間中兩點\(A\)、\(B\)垂直投影到平面\(E\)上，所得投影點依序為\(A’\)、\(B’\)兩點。已知\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，若\(\overrightarrow{A’B’}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，試求實數\(\alpha\)，\(\beta\)之值。(6分)

[非選擇題]
答案

已知\(\overrightarrow{A'B'}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\)，\(\vec{u}=(2,0,1)\)，\(\vec{v}=(0,1,1)\)，所以\(\overrightarrow{A'B'}=(2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\)。
由(2)知\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{u}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=5\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(2,0,1)=5\)，可得\(4\alpha+\alpha+\beta = 5\)，即\(5\alpha+\beta = 5\) ①；
又\(\overrightarrow{A'B'}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=2\)，即\((2\alpha,\beta,\alpha+\beta)\cdot(0,1,1)=2\)，可得\(\beta+\alpha+\beta = 2\)，即\(\alpha + 2\beta = 2\) ②。
由①\(\times2 -\)②得：\(10\alpha + 2\beta - (\alpha + 2\beta)=10 - 2\)，\(9\alpha = 8\)，解得\(\alpha=\frac{8}{9}\)。
把\(\alpha=\frac{8}{9}\)代入①得：\(5\times\frac{8}{9}+\beta = 5\)，\(\beta = 5 - \frac{40}{9}=-\frac{5}{9}\)。
所以\(\alpha=\frac{8}{9}\)，\(\beta =-\frac{5}{9}\)。 報錯
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109指考數學甲(補考)試題-1)

設\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)為三次實係數多項式函數。已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，若\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)，其中\(k\)為實數，試求出\(b\)（以\(k\)的數學式表示）。(4分)

[非選擇題]
答案

首先對\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)求導，可得\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)。
將\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)展開：
\(x^{3}+bx^{2}+cx + d=\frac{1}{3}(3x^{2}+2bx + c)(x + k)\)
\(=\frac{1}{3}(3x^{3}+3kx^{2}+2bx^{2}+2bkx + cx + ck)\)
\(=x^{3}+(k+\frac{2b}{3})x^{2}+(\frac{2bk + c}{3})x+\frac{ck}{3}\)。
對比等式兩邊\(x^{2}\)的係數，可得\(b = k+\frac{2b}{3}\)，
移項可得\(b-\frac{2b}{3}=k\)，即\(\frac{b}{3}=k\)，所以\(b = 3k\)。 報錯
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109指考數學甲(補考)試題-2)

設\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)為三次實係數多項式函數。已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，試證明\(f'(x)=0\)有重根。(4分)

[非選擇題]
答案

由(1)知\(b = 3k\)，\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)，\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)。
因為\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，所以\(f(x)\)能被\(f'(x)\)整除，即\(f(x)=0\)的根也是\(f'(x)=0\)的根。
\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)，\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)。
假設\(f'(x)=0\)的兩個根為\(x_1\)，\(x_2\)，由韋達定理\(x_1 + x_2=-\frac{2b}{3}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{3}\)。
又因為\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)，所以\(f(x)\)有一個根為\(-k\)，不妨設\(x_1=-k\)。
將\(x_1=-k\)代入\(x_1 + x_2=-\frac{2b}{3}\)，由\(b = 3k\)可得\(-k + x_2=-2k\)，則\(x_2=-k\)。
所以\(f'(x)=0\)的兩個根相等，即\(f'(x)=0\)有重根。 報錯
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109指考數學甲(補考)試題-3)

“設\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)為三次實係數多項式函數。已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，若知\(f(-1)=0\)，試

[非選擇題]
答案

已知\(B(1,1,0)\)，\(\overline{BQ}=t\)，且\(F(1,1,1)\)，則\(Q\)點坐標為\((1,1,t)\)。
又\(A(1,0,0)\)，\(P(0,1,\frac{1}{2})\)，因為\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為平行四邊形的四個頂點，所以\(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{PR}\)。
\(\overrightarrow{AQ}=(1,1,t)-(1,0,0)=(0,1,t)\)。
設\(R(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{PR}=(x,y,z)-(0,1,\frac{1}{2})=(x,y - 1,z-\frac{1}{2})\)。
由\(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{PR}\)可得\(\begin{cases}x = 0\\y - 1 = 1\\z-\frac{1}{2}=t\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 0\\y = 2\\z=t + \frac{1}{2}\end{cases}\)，即\(R(0,2,t+\frac{1}{2})\)。
所以\(\overrightarrow{AR}=(0,2,t+\frac{1}{2})-(1,0,0)=(-1,2,t+\frac{1}{2})\)。 報錯
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109指考數學甲試題-01

已知\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)，且\(a = 1-\cos^{2}\theta\)、\(b=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta\)、\(c=\frac{\tan\theta}{\tan^{2}\theta + 1}\)。關於\(a\)，\(b\)，\(c\)三個數值的大小，試選出正確的選項。
(1)\(a \lt b \lt c\)
(2)\(a \lt c \lt b\)
(3)\(b \lt a \lt c\)
(4)\(b \lt c \lt a\)
(5)\(c \lt a \lt b\)

[單選題]
答案
因為\(a = 1-\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta\)。 \(b=\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta=\frac{1 - \cos^{2}\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\) ，由於\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)，\(\cos\theta\in(0,1)\)，所以\(b=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\gt\sin^{2}\theta=a\)。 \(c=\frac{\tan\theta}{\tan^{2}\theta + 1}=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+1}=\frac{\sin\theta\cos\theta}{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}=\sin\theta\cos\theta\) 。 \(b - c=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}-\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin^{2}\theta-\sin\theta\cos^{2}\theta}{\cos\theta}=\frac{\sin\theta(\sin\theta-\cos^{2}\theta)}{\cos\theta}\) ，\(\sin\theta-\cos^{2}\theta=\sin\theta-(1 - \sin^{2}\theta)=\sin^{2}\theta+\sin\theta - 1\) ，在\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)時，\(\sin\theta\gt\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin^{2}\theta+\sin\theta - 1\gt0\)，所以\(b\gt c\)。 \(c - a=\sin\theta\cos\theta-\sin^{2}\theta=\sin\theta(\cos\theta-\sin\theta)\) ，在\(45^{\circ}\lt\theta\lt50^{\circ}\)時，\(\cos\theta\lt\sin\theta\)，所以\(c - a\lt0\)，即\(c \lt a\)。所以\(c \lt a \lt b\)，答案為(5)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-02

有\(A\)，\(B\)兩個箱子，其中\(A\)箱有\(6\)顆白球與\(4\)顆紅球，\(B\)箱有\(8\)顆白球與\(2\)顆藍球。現有三種抽獎方式(各箱中每顆球被抽取的機率相同)：
(一)先在\(A\)箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從\(B\)箱中抽取一球；
(二)先在\(B\)箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從\(A\)箱中抽取一球；
(三)同時分別在\(A\)，\(B\)箱中各抽取一球。
給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得\(50\)元獎金；若只抽到藍球得\(100\)元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得\(100\)元獎金；若都沒抽到，則無獎金。將上列(一)、(二)、(三)這\(3\)種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為\(E_{1}\)、\(E_{2}\)、\(E_{3}\)，試選出正確的選項。
(1)\(E_{1}\gt E_{2}\gt E_{3}\)
(2)\(E_{1}=E_{2}\gt E_{3}\)
(3)\(E_{2}=E_{3}\gt E_{1}\)
(4)\(E_{1}=E_{3}\gt E_{2}\)
(5)\(E_{3}\gt E_{2}\gt E_{1}\)

[單選題]
答案
方式(一)：\(P\)（只抽到紅球）\(=\frac{4}{10}\)；\(P\)（先白後藍）\(=\frac{6}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{12}{100}\)；\(P\)（先白後非藍）\(=\frac{6}{10}\times\frac{8}{10}=\frac{48}{100}\) 。 \(E_{1}=50\times\frac{4}{10}+100\times\frac{12}{100}+0\times\frac{48}{100}=20 + 12=32\)。 方式(二)：\(P\)（只抽到藍球）\(=\frac{2}{10}\)；\(P\)（先白後紅）\(=\frac{8}{10}\times\frac{4}{10}=\frac{32}{100}\)；\(P\)（先白後非紅）\(=\frac{8}{10}\times\frac{6}{10}=\frac{48}{100}\) 。 \(E_{2}=100\times\frac{2}{10}+50\times\frac{32}{100}+0\times\frac{48}{100}=20 + 16=36\)。 方式(三)：\(P\)（只抽到紅球）\(=\frac{4}{10}\times\frac{8}{10}=\frac{32}{100}\)；\(P\)（只抽到藍球）\(=\frac{6}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{12}{100}\)；\(P\)（兩球都抽到）\(=\frac{4}{10}\times\frac{2}{10}=\frac{8}{100}\)；\(P\)（都沒抽到）\(=\frac{6}{10}\times\frac{8}{10}=\frac{48}{100}\)。 \(E_{3}=50\times\frac{32}{100}+100\times(\frac{12}{100}+\frac{8}{100})+0\times\frac{48}{100}=16 + 20=36\)。所以\(E_{2}=E_{3}\gt E_{1}\)，答案為(3)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-03

若\(f(x)\)是一個三次多項式，且\(f(1)=1\)，\(f(2)=3\)，\(f(3)=5\)，\(f(4)=7\)，則\(f(0)\)的值為？
(1)\(-1\)
(2)\(0\)
(3)\(1\)
(4)\(2\)
(5)\(3\)

[單選題]
答案
設\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)，由已知可得\(\begin{cases}a + b + c + d = 1\\8a+4b + 2c + d = 3\\27a+9b + 3c + d = 5\\64a+16b + 4c + d = 7\end{cases}\)。 用下面的方程依次減去上面的方程來消元： \(\begin{cases}7a + 3b + c = 2\\19a+5b + c = 2\\37a+7b + c = 2\end{cases}\)，再用後面的方程減去前面的方程： \(\begin{cases}12a+2b = 0\\18a+2b = 0\end{cases}\)，兩式相減得\(6a = 0\)，則\(a = 0\)。 把\(a = 0\)代入\(12a+2b = 0\)得\(b = 0\)，把\(a = 0\)，\(b = 0\)代入\(7a + 3b + c = 2\)得\(c = 2\)，把\(a = 0\)，\(b = 0\)，\(c = 2\)代入\(a + b + c + d = 1\)得\(d=-1\)。 所以\(f(x)=2x - 1\)，則\(f(0)=-1\)，答案為(1)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-04

已知\(z_{1}\)，\(z_{2}\)為兩個非零複數，且\(\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert\)，則\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)的實部為？
(1)\(0\)
(2)\(\frac{1}{2}\)
(3)\(1\)
(4)\(-\frac{1}{2}\)
(5)\(-1\)

[單選題]
答案
已知\(\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert\)，兩邊平方得\((z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}+z_{2}})=(z_{1}-z_{2})(\overline{z_{1}-z_{2}})\)。 即\((z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}})=(z_{1}-z_{2})(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}})\)。 展開得\(z_{1}\overline{z_{1}}+z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}=z_{1}\overline{z_{1}}-z_{1}\overline{z_{2}}-z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}\)。 化簡得\(z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}=0\)。 設\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=x+yi\)（\(x,y\in R\)），則\(z_{1}=(x + yi)z_{2}\)，代入\(z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}=0\)得： \((x + yi)z_{2}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{(x + yi)z_{2}}=0\)，\((x + yi)\vert z_{2}\vert^{2}+z_{2}\overline{z_{2}}(x - yi)=0\)，\(2x\vert z_{2}\vert^{2}=0\)。 因為\(z_{2}\neq0\)，所以\(x = 0\)，即\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)的實部為\(0\)，答案為(1)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-05

在平面直角坐標系中，已知橢圓\(E:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)\)的左右焦點分別為\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，過\(F_{1}\)且斜率為\(\sqrt{3}\)的直線與橢圓\(E\)相交於\(A\)，\(B\)兩點，若\(\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2\vert AB\vert\)，則橢圓\(E\)的離心率為？
(1)\(\frac{1}{3}\)
(2)\(\frac{1}{2}\)
(3)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(4)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(5)\(\frac{2}{3}\)

[單選題]
答案
根據橢圓的定義，\(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert = 2a\)，\(\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2a\)。 所以\(\vert AF_{1}\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{1}\vert+\vert BF_{2}\vert = 4a\)，即\(\vert AB\vert+\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 4a\)。 又因為\(\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert = 2\vert AB\vert\)，所以\(3\vert AB\vert = 4a\)，\(\vert AB\vert=\frac{4a}{3}\)。 設直線\(AB\)的方程為\(y=\sqrt{3}(x + c)\)（\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\)），聯立\(\begin{cases}y=\sqrt{3}(x + c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\end{cases}\)，消去\(y\)得： \(b^{2}x^{2}+a^{2}\times3(x + c)^{2}=a^{2}b^{2}\)，\(b^{2}x^{2}+3a^{2}(x^{2}+2cx + c^{2})=a^{2}b^{2}\)，\((b^{2}+3a^{2})x^{2}+6a^{2}cx+3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=0\)。 設\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，由弦長公式\(\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)（\(k = \sqrt{3}\)）。 \(x_{1}+x_{2}=-\frac{6a^{2}c}{b^{2}+3a^{2}}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}\)。 \(\vert AB\vert=\sqrt{1 + 3}\cdot\sqrt{(-\frac{6a^{2}c}{b^{2}+3a^{2}})^{2}-4\times\frac{3a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}}=\frac{4a}{3}\)。 又\(b^{2}=a^{2}-c^{2}\)，代入化簡可得\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\)，答案為(1)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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