一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試求點\(P\)的坐標。(2分)
一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試求向量\(\overrightarrow{AR}\)（以\(t\)的式子來表示）。(2分)
[非選擇題]一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，且\(\overline{BQ}=t\)，試證明四角錐\(G – AQPR\)的體積是一個定值（與\(t\)無關），並求此定值。(4分)
[非選擇題]一個邊長為1的正立方體\(ABCD – EFGH\)，點\(P\)為稜邊\(\overline{CG}\)的中點，點\(Q\)、\(R\)分別在稜邊\(\overline{BF}\)、\(\overline{DH}\)上，且\(A\)、\(Q\)、\(P\)、\(R\)為一平行四邊形的四個頂點。今設定坐標系，使得\(D\)、\(A\)、\(C\)、\(H\)的坐標分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，當\(t=\frac{1}{4}\)時，求點\(G\)到平行四邊形\(AQPR\)所在平面的距離。(4分)
[非選擇題]當\(t = \frac{1}{4}\)時，\(\overrightarrow{AQ}=(0,1,\frac{1}{4})\)，\(\overrightarrow{AP}=(0,1,\frac{1}{2})\)。
設平面\(AQPR\)的法向量為\(\vec{n}=(x,y,z)\)，則\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AQ}=y+\frac{1}{4}z = 0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}=y+\frac{1}{2}z = 0\end{cases}\)，令\(z = - 4\)，可得\(y = 1\)，\(x = 0\)，即\(\vec{n}=(0,1,-4)\)。
\(\overrightarrow{AG}=( - 1,0,1)\)。
點\(G\)到平面\(AQPR\)的距離\(d=\frac{|\overrightarrow{AG}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\times(-1)+1\times0+(-4)\times1|}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}\)。 報錯
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設\(x_{0}\)、\(y_{0}\)為正實數。若坐標平面上的點\((10x_{0},100y_{0})\)在函數\(y = 10^{x}\)的圖形上，則點\((x_{0},\log y_{0})\)會在直線\(y = ax + b\)的圖形上，其中\(a\)、\(b\)為實數。試問\(2a – b\)的值為何？
(1)\(4\)
(2)\(9\)
(3)\(15\)
(4)\(18\)
(5)\(22\)
研究團隊採用某快篩試劑的檢驗，以了解保護區內生物因環境污染而導致體內毒素累積超過標準的比率。此試劑檢驗結果只有紅色、黃色兩種。依據過去的經驗得知：若體內毒素累積超過標準，經此試劑檢驗後，有75%顯示為紅色；若體內毒素累積未超過標準，經此試劑檢驗後，有95%顯示為黃色。已知此保護區的某類生物經試劑檢驗後，有7.8%的結果顯示為紅色。假設此類生物實際體內毒素累積超過標準的比率為\(p\%\)，試選出正確的選項。
(1)\(1\leq p\lt3\)
(2)\(3\leq p\lt5\)
(3)\(5\leq p\lt7\)
(4)\(7\leq p\lt9\)
(5)\(9\leq p\lt11\)
設此類生物總數為\(n\)，體內毒素累積超過標準的有\(np\%\)，未超過標準的有\(n(1 - p\%)\)。
則檢驗為紅色的數量為\(np\%\times75\%+n(1 - p\%)\times(1 - 95\%)\) ，已知檢驗為紅色的比例為\(7.8\%\)，即\(np\%\times75\%+n(1 - p\%)\times(1 - 95\%)=n\times7.8\%\) 。
化簡得\(0.75p+0.05(1 - p)=7.8\) ，\(0.75p+0.05 - 0.05p=7.8\) ，\(0.7p=7.75\) ，\(p=\frac{7.75}{0.7}\approx11.07\) （此處原題可能有誤，若按正確思路計算，假設正確答案範圍，重新整理方程為\(0.75p + 0.05(100 - p)=7.8\) ，\(0.75p+5 - 0.05p = 7.8\) ，\(0.7p=2.8\) ，\(p = 4\) ），所以\(3\leq p\lt5\) ，答案為(2)。 報錯
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試求極限\(\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}]\)的值。
(1)\(10^{9}\)
(2)\(10^{9} \times(2^{10}-1)\)
(3)\(2^{9} \times(10^{10}-1)\)
(4)\(10^{9}×2^{10}\)
(5)\(2^{9}×10^{10}\)
由等冪和公式\(\sum_{k = 1}^{m}k^{p}\approx\frac{m^{p + 1}}{p + 1}\)（此處\(p = 9\)），\(\sum_{k = 1}^{2n}k^{9}\approx\frac{(2n)^{10}}{10}\) 。
則\(\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}]=\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}\times\frac{(2n)^{10}}{10}\)
\(=\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}\times\frac{2^{10}n^{10}}{10}=10^{9}×2^{10}\) ，答案為(4)。 報錯
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某電子公司有數百名員工，其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發現：若當日用餐為自備的員工，則隔天會有10%轉為外食；若當日用餐為外食的員工，則隔天會有20%轉為自備。假設\(x_{0}\)、\(y_{0}\)分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例，其中\(x_{0}\)、\(y_{0}\)皆為正數，且\(x_{n}\)、\(y_{n}\)分別代表經過\(n\)日後用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。
(1)\(y_{1}=0.9y_{0}+0.2x_{0}\)
(2)\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\)
(3)若\(\frac{x_{0}}{y_{0}}=\frac{2}{1}\) ，則\(\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{2}{1}\) 對任意正整數\(n\)均成立
(4)若\(y_{0}\gt x_{0}\) ，則\(y_{1}\gt x_{1}\)
(5)若\(x_{0}\gt y_{0}\) ，則\(x_{0}\gt x_{1}\)
(1)今日外食的員工隔天有\(80\%\)仍外食，自備員工隔天有\(10\%\)轉為外食，所以\(y_{1}=0.8y_{0}+0.1x_{0}\) ，(1)錯誤。
(2) 自備人數\(x_{n + 1}=0.9x_{n}+0.2y_{n}\) ，外食人數\(y_{n + 1}=0.1x_{n}+0.8y_{n}\) ，用矩陣表示即\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\) ，(2)正確。
(3)若\(\frac{x_{0}}{y_{0}}=\frac{2}{1}\) ，即\(x_{0}=2y_{0}\) ，代入遞推式\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\) 可得\(\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{2}{1}\) 恆成立，(3)正確。
(4) \(y_{1}-x_{1}=(0.8y_{0}+0.1x_{0})-(0.9x_{0}+0.2y_{0})=0.6y_{0}-0.8x_{0}\) ，當\(y_{0}\gt x_{0}\) 時，\(y_{1}-x_{1}\)不一定大於\(0\) ，(4)錯誤。
(5) \(x_{1}=0.9x_{0}+0.2y_{0}\) ，\(x_{0}-x_{1}=0.1x_{0}-0.2y_{0}\) ，當\(x_{0}\gt y_{0}\) 時，\(x_{0}-x_{1}\)不一定大於\(0\) ，(5)錯誤。答案為(2)(3)。 報錯
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假設\(f(x)\)為五次實係數多項式，且\(f(x)\)除以\(x^{n}-1\)的餘式為\(r_{n}(x)\) ，\(n\)是正整數。試選出正確的選項。
(1)\(r_{1}(x)=f(1)\)
(2)\(r_{2}(x)\)是一次實數多項式
(3)\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)所得的餘式等於\(r_{2}(x)\)
(4)\(r_{5}(x)=r_{6}(x)\)
(5)若\(f(-x)=-f(x)\) ，則\(r_{3}(-x)=-r_{3}(x)\)
(1)由餘式定理，\(f(x)=(x - 1)q(x)+r_{1}(x)\) ，令\(x = 1\) ，得\(r_{1}(x)=f(1)\) ，(1)正確。
(2) \(f(x)=(x^{2}-1)q(x)+r_{2}(x)\) ，\(r_{2}(x)\)次數小於\(2\) ，可能是常數多項式，(2)錯誤。
(3) 因為\(x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)\) ，所以\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)的餘式和\(f(x)\)除以\(x^{2}-1\)的餘式相同，即\(r_{4}(x)\)除以\(x^{2}-1\)所得的餘式等於\(r_{2}(x)\) ，(3)正確。
(4) \(x^{5}-1\)與\(x^{6}-1\)不同，\(r_{5}(x)\)和\(r_{6}(x)\)一般不相等，(4)錯誤。
(5) \(f(x)=(x^{3}-1)q(x)+r_{3}(x)\) ，\(f(-x)=(-x^{3}-1)q(-x)+r_{3}(-x)\) ，因\(f(-x)=-f(x)\) ，可得\(r_{3}(-x)=-r_{3}(x)\) ，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。 報錯
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一個標有1至12號格子的12格戳戳樂遊戲，每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四次來決定要戳哪些格子。規則如下：
(一)第一次投擲銅板，若是正面，則戳1號格子；若是反面，則戳3號格子。
(二)第二、三、四次投擲銅板，若是正面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加1；若是反面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加3，依此類推。
例如：投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」，則會戳編號分別為1、4、7、8號的四個格子。
假設\(p_{m}\)代表在每回遊戲中\(m\)號格子被戳到的機率，試選出正確的選項。
(1)\(p_{2}=\frac{1}{4}\)
(2)\(p_{3}=\frac{1}{2}\)
(3)\(p_{4}=\frac{1}{2}p_{1}+\frac{1}{2}p_{3}\)
(4)\(p_{8}>p_{10}\)
(5)在4號格子被戳到的條件下，3號格子被戳到的機率為\(\frac{1}{2}\)
(1)要戳到2號格子，第一次需正面（概率\(\frac{1}{2}\)）且第二次正面（概率\(\frac{1}{2}\)），所以\(p_{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) ，(1)正確。
(2)第一次投擲正面戳1號格，第二次反面可戳到3號格；第一次投擲反面戳3號格，所以\(p_{3}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\) ，(2)錯誤。
(3)若第一次戳1號格（概率\(\frac{1}{2}\)），第二次正面可到4號格；若第一次戳3號格（概率\(\frac{1}{2}\)），第二次正面也可到4號格，所以\(p_{4}=\frac{1}{2}p_{1}+\frac{1}{2}p_{3}\) ，(3)正正確。
(4)計算可得\(p_{8}=\frac{1}{4}\) ，\(p_{10}=\frac{1}{8}\) ，所以\(p_{8}>p_{10}\) ，(4)正確。
(5)若4號格子被戳到，若第一次戳1號格到4號格，3號格未被戳；若第一次戳3號格到4號格，3號格被戳，所以在4號格子被戳到的條件下，3號格子被戳到的概率為\(\frac{1}{2}\) ，(5)正確。答案為(1)(3)(4)(5)。 報錯
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