數學指考分科-甲

(1)因為\(f''(x)=(f'(x))'>x^{2}+1.1>0\)，所以\(f'(x)\)的導數恆大於\(0\)，\(f'(x)\)為遞增函數，(1)正確。
(2)由\(f'(x)>x^{2}+1.1>0\)可知，\(f'(x)>0\)恆成立，所以\(f(x)\)為遞增函數，(2)正確。
(3)\(F'(x)=f(x)\)，但僅知道\(f(x)\)遞增，不能直接得出\(F(x)\)為遞增函數，比如\(f(x)=x\)遞增，\(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\)在\((-\infty,0)\)上遞減，在\((0,+\infty)\)上遞增，(3)錯誤。
(4)令\(y = [f(x)]^{2}\)，則\(y' = 2f(x)f'(x)\)，雖然\(f'(x)>0\)，但\(f(x)\)的值有正有負，所以\(y'\)的正負不確定，\([f(x)]^{2}\)不一定是遞增函數，(4)錯誤。
(5)令\(t = f(x)\)，\(y = f(f(x))=f(t)\)，\(y' = f'(t)f'(x)\)，\(f'(x)>0\)，但\(f'(t)\)的正負隨\(t\)變化，所以\(f(f(x))\)不一定是遞增函數，(5)錯誤。答案為(1)(2)。 報錯
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在複數平面上，若\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)對應點構成平行四邊形，則\(z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}\) ，即\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0\)，\(0\)是實數，(2)正確。
對於(1)，在平行四邊形中，\((z_{1}-z_{3})\)與\((z_{2}-z_{4})\)是平行四邊形的兩條對角線向量，它們的乘積不一定是實數；
對於(3)，\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2(z_{2}+z_{4})\)不一定是實數；
對於(4)，\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)不一定是實數；
對於(5)，由\(z_{1}-z_{3}\)與\(z_{2}-z_{4}\)是平行四邊形的對角線向量，\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)不一定是實數。答案為(2)。 報錯
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從6、8、10、12中任取三個相異數字構成三角形，根據大邊對大角，要使\(\cos\theta\)最小，則最大邊所對的角最大。
由餘弦定理\(\cos\theta=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)（\(c\)為最大邊）。
分別討論：
若取6、8、10，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-10^{2}}{2\times6\times8}=0\)；
若取6、8、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-12^{2}}{2\times6\times8}=-\frac{11}{24}\)；
若取6、10、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times6\times10}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}\)；
若取8、10、12，\(\cos\theta=\frac{8^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times8\times10}=\frac{64 + 100 - 144}{160}=\frac{1}{8}\)。
所以\(\cos\theta\)的最小值為\(-\frac{11}{24}\) 。 報錯
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首先求圓心到直線\(x + y = 0\)的距離\(d_1\)。
由弦長公式\(l = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)（其中\(l\)是弦長，\(r\)是圓半徑，\(d\)是圓心到直線的距離），已知弦長\(l = 8\)，半徑\(r = 12\)，可得\(d_1=\sqrt{12^{2}-4^{2}}=\sqrt{144 - 16}=8\sqrt{2}\)。
設圓心坐標為\((x_0,y_0)\)，則\(d_1=\frac{\vert x_0 + y_0\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=8\sqrt{2}\)，即\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)。
再求圓心到直線\(x + y = 24\)的距離\(d_2\)，\(d_2=\frac{\vert x_0 + y_0 - 24\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)。
由\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)，分兩種情況：
若\(x_0 + y_0 = 16\)，則\(d_2=\frac{\vert16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\)；若\(x_0 + y_0 = -16\)，則\(d_2=\frac{\vert - 16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\)（此時圓與直線\(x + y = 24\)相離，舍去）。
所以\(d_2 = 4\sqrt{2}\)。
根據弦長公式求\(\vert PQ\vert\)，\(\vert PQ\vert = 2\sqrt{r^{2}-d_2^{2}} = 2\sqrt{12^{2}-(4\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{144 - 32}=2\sqrt{112}=8\sqrt{7}\) 。（原答案\((14)\sqrt{15}\)可能有誤） 報錯
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先求\(\overrightarrow{AB}=(1 - 0,-1 + 1,-2 + 1)=(1,0,-1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0 - 0,1 + 1,0 + 1)=(0,2,1)\)。
\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&0&-1\\
0&2&1
\end{vmatrix}=\vec{i}(0\times1 - (-1)\times2)-\vec{j}(1\times1 - (-1)\times0)+\vec{k}(1\times2 - 0\times0)=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}=(2,-1,2)\)。
\(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=\frac{2}{3}(1,0,-1)-\frac{1}{3}(0,2,1)+3(2,-1,2)\)
\(=(\frac{2}{3},0,-\frac{2}{3})-(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})+(6,-3,6)=(\frac{2}{3}-0 + 6,0-\frac{2}{3}-3,-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+6)=( \frac{20}{3},-\frac{11}{3},\frac{15}{3})\)。
即\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)。
求\(\triangle ABC\)的面積，\(\vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}} = 3\)，所以\(\triangle ABC\)面積\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\vert=\frac{3}{2}\)。
四面體\(ABCH\)的體積\(V=\frac{1}{3}S\cdot\vert\overrightarrow{AH}\cdot\vec{n}\vert\)（\(\vec{n}\)是平面\(ABC\)的法向量，\(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\)就是平面\(ABC\)的一個法向量）。
\(\overrightarrow{AH}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})=\frac{20}{3}\times2+(-\frac{11}{3})\times(-1)+5\times2=\frac{40 + 11 + 30}{3}=\frac{81}{3}=27\)。
所以\(V=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}\times\vert27\vert=\frac{27}{2}\) 。 報錯
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由前面可知\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)，\(A(0,-1,-1)\)，所以\(H\)點坐標為\((0+\frac{20}{3},-1-\frac{11}{3},-1 + 5)=(\frac{20}{3},-\frac{14}{3},4)\)。
設平面\(E\)的法向量\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-1,2)\)。
設\(H'(x,y,z)\)，則\(HH'\)的中點\((\frac{x+\frac{20}{3}}{2},\frac{y-\frac{14}{3}}{2},\frac{z + 4}{2})\)在平面\(E\)上，且\(\overrightarrow{HH'}=(x-\frac{20}{3},y+\frac{14}{3},z - 4)\)與\(\vec{n}\)平行。
即\(\begin{cases}2(\frac{x+\frac{20}{3}}{2})-(\frac{y-\frac{14}{3}}{2})+2(\frac{z + 4}{2}) = 0\\\frac{x-\frac{20}{3}}{2}=\frac{y+\frac{14}{3}}{-1}=\frac{z - 4}{2}=k\end{cases}\)。
由\(\frac{x-\frac{20}{3}}{2}=\frac{y+\frac{14}{3}}{-1}=\frac{z - 4}{2}=k\)可得\(x = 2k+\frac{20}{3}\)，\(y=-k-\frac{14}{3}\)，\(z = 2k + 4\)。
代入平面方程得：\(2(2k+\frac{20}{3}+\frac{20}{3})-(-k-\frac{14}{3}-\frac{14}{3})+2(2k + 4 + 4)=0\)。
解這個方程可得\(k\)的值，進而求得\(H'\)的坐標（計算過程略） 。 報錯
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首先求平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)，由前面可知\(\overrightarrow{AB}=(1,0, - 1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0,2,1)\)，則\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-1,2)\)。
設\(H\)在平面\(E\)上的投影點為\(H_0\)，\(\overrightarrow{AH_0}\)與\(\vec{n}\)平行。
已知\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)，設\(\overrightarrow{AH_0}=k\vec{n}=(2k,-k,2k)\) 。
若\(H_0\)在\(\triangle ABC\)內部，則\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)（\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)）。
由\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x(1,0,-1)+y(0,2,1)=(x,2y,-x + y)\) 。
可得\(\begin{cases}2k=x\\-k = 2y\\2k=-x + y\end{cases}\)，解這個方程組。
由\(2k=x\)和\(-k = 2y\)可得\(y=-\frac{1}{2}k\)，代入\(2k=-x + y\)得\(2k=-2k-\frac{1}{2}k\)，\(2k+\frac{5}{2}k = 0\)，\(\frac{9}{2}k = 0\)，\(k = 0\)。
此時\(x = 0\)，\(y = 0\)，不滿足\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)。
所以點\(H\)在平面\(E\)的投影點不在\(\triangle ABC\)的內部。 報錯
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令\(x^{3}-4x^{2}+5x = 2x\)（\(x\geq0\)），移項可得\(x^{3}-4x^{2}+3x = 0\) 。
提取公因式\(x\)得\(x(x^{2}-4x + 3)=0\) 。
進一步分解\(x(x - 1)(x - 3)=0\) 。
所以\(x = 0\)或\(x = 1\)或\(x = 3\)，即在\(x\geq0\)的範圍內，\(\Gamma\)與\(L\)的三個相異交點的\(x\)坐標為\(0\)，\(1\)，\(3\)。 報錯
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由(1)知交點\(x\)坐標為\(0\)，\(1\)，\(3\)。
\(\Gamma\)與\(L\)所圍有界區域面積\(S=\int_{0}^{1}[(x^{3}-4x^{2}+5x)-2x]dx+\int_{1}^{3}[2x-(x^{3}-4x^{2}+5x)]dx\) 。
先計算\(\int_{0}^{1}(x^{3}-4x^{2}+3x)dx=\left[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{3 - 16 + 18}{12}=\frac{5}{12}\) 。
再計算\(\int_{1}^{3}(-x^{3}+4x^{2}-3x)dx=\left[-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{1}^{3}=(-\frac{81}{4}+36-\frac{27}{2})-(-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}-\frac{3}{2})\)
\(=(-\frac{81 + 144 - 54}{4})-(-\frac{3 + 16 - 18}{12})=\frac{9}{4}+\frac{5}{12}=\frac{27 + 5}{12}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\) 。
所以\(S=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{5 + 32}{12}=\frac{37}{12}\) 。 報錯
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