113分科物理

某科學博物館有一個令人印象深刻的實驗演示：將人安置在一個巨大的金屬體內，即使外加於金屬體的高電壓產生巨大火花；金屬體內的人依然毫無焦慮。依據前述實驗結果，若將一導體球殼置於電場中，則下列電力線分布示意圖，何者正確？（各選項中實線代表不偏折的電力線，虛線代表垂直射入或穿出導體球殼表面的電力線）

圖1為氫原子光譜譜線的波長相對位置示意圖（波長絕對位置未依實際刻度繪製），並以I、II、III標示來曼系、巴耳末系、帕申系中波長最長的三條光譜線，例如來曼系標示I處為電子從主量子數n=2軌域躍遷至n=1軌域所發射的譜線。下列何者為電子從主量子數n=5軌域躍遷至n=3軌域所發射的譜線？
(A)帕申系標示I處
(B)帕申系標示II處
(C)巴耳末系標示II處
(D)巴耳末系標示III處
(E)來曼系標示III處

圖2為「電流天平」實驗裝置的示意圖，將U形電路PQRS放入螺線管內，其中長度為L的QR段約位於螺線管內的中央位置。螺線管所載電流為I_1，通過U形電路PQRS的電流為I_2，天平右臂受有磁力的作用，而左臂未端掛有小重物。下列有關此電流天平的敘述何者正確？
(A)U形電路所受的總磁力正比於I_1與I_2的乘積
(B)U形電路上所受的總磁力正比於U形電路於螺線管內的總長度
(C)螺線管電路必須與U形電路串聯，形成電流通路
(D)電流天平的兩臂達平衡時，若增加螺線管線圈匝數，不會改變其平衡狀態
(E)若小重物之重量不管如何調整，天平左臂一直下垂，則同時改變I_1和I_2的電流方向，可使天平趨於水平

以等長細繩懸掛半徑均為 \( r \)、質量均為 \( m \) 的兩相同金屬小球於固定點 \( O \)，兩小球帶電量相同，因互斥分開，達到平衡後，球心相距 \( 2D (r \ll D) \)，如圖3所示。若固定點到球心連線的垂直距離為 \( L \)，庫侖常數為 \( k_e \)，重力加速度為 \( g \)，細繩質量可忽略，則每顆球上的電量約為下列何者？
(A) \( 2\sqrt{\frac{mgD^3}{k_eL}} \)
(B) \( \sqrt{\frac{mgD^3}{k_eL}} \)
(C) \( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{mgD^3}{k_eL}} \)
(D) \( 2\sqrt{\frac{k_eL}{mgD^3}} \)
(E) \( \sqrt{\frac{k_eL}{mgD^3}} \)

2024年4月3日花蓮發生規模7.2的地震，台北101大樓僅有輕微晃動，這是由於92樓到87樓間設有以多條鋼鐵懸掛重量660公噸的球形質量塊，並以阻尼器與機板連接所構成的減振系統。原理為：可將前述減振系統視為有效擺長約為12.1m的單擺式減振系統（示意圖如圖4），並設計其振動頻率為接近大樓主結構的基頻。當風力或地震使大樓以主結構的基頻振動時，振動能量便能有效地轉移到朝相反方向移動的球形質量塊，使得阻尼器伸縮以吸收大樓的振動能量，如圖5所示。
估算101大樓主結構以基頻振動的週期約為下列何者？（可將減振系統視為理想單擺，且取重力加速度 \( g = 10 \text{m/s}^2 \) 來估算）
(A) 1.1s
(B) 5.6s
(C) 6.9s
(D) 9.8s
(E) 14.0s