會考112數學

有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時開始往吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖(十二)所示。已知小維從西橋頭走了 $84$步，阿良從東橋頭走了 $60$步時，兩人在吊橋上的某點交會，且交會之後阿良再走 $70$步恰好走到西橋頭。若小維每步的距離相等，阿良每步的距離相等，則交會之後小維再走多少步會恰好走到東橋頭？
(A) $46$
(B) $50$
(C) $60$
(D) $72$

如圖(十三)，正方形 $ABCD$與 $\Delta EBC$中，$AD$分別與 $EB$、$EC$相交於 $F$點、$G$點。若 $\Delta EBG$的面積為 $6$，正方形 $ABCD$的面積為 $16$，則 $FG$與 $BC$的長度比為何？
(A) $3: 5$
(B) $3: 6$
(C) $3: 7$
(D) $3: 8$

如圖(十四)，矩形 $ABCD$中，$AB= 6$，$AD= 8$，且有一點 $P$從 $B$點沿著 $BD$往 $D$點移動。若過 $P$點作 $AB$的垂線交 $AB$於 $E$點，過 $P$點作 $AD$的垂線交 $AD$於 $F$點，則 $EF$的長度最小為多少？
(A) $\dfrac{15}{4}$
(B) $\dfrac{25}{4}$
(C) $5$
(D) $7$

[題組:第24題到第25題]
圖(十五)為某機構於 2020年繪製的四個國家 65歲以上人口占總人口百分比之折線圖，其中 2020年之後的數值為推估值。根據圖(十五)推測，下列哪一個國家從進入「高齡社會」到進入「超高齡社會」所花的時間最短？
(A)法國
(B)義大利
(C)美國
(D)韓國

A、B兩廠牌的疫苗皆進行實驗以計算其疫苗效力。兩廠牌的疫苗實驗人數皆為 30000人，各廠牌實驗人數中一半的人施打疫苗，另一半的人施打不具疫苗成分的安慰劑。經過一段時間後觀察得知，在 A廠牌的實驗中，施打疫苗後仍感染的人數為 50人，施打安慰劑後感染的人數為 500人。而疫苗效力的算式如下：
請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1)根據實驗數據算出 A廠牌的疫苗效力為多少？
(2)若 B廠牌的實驗數據算出的疫苗效力高於 A廠牌，請詳細說明 B廠牌的實驗中施打疫苗後仍感染的人數，是否一定低於 A廠牌實驗中施打疫苗後仍感染的人數？

小儀利用一副撲克牌摺疊出一個環套，如圖(十六)所示。環套的上視圖為邊長 6公分的正八邊形，如圖(十七)所示。
請根據上述資訊回答下列問題，完整寫出你的解題過程並詳細解釋：
(1)圖(十七)的正八邊形的一個內角度數為多少？
(2)已知有一個圓柱形花瓶其底面半徑為 8公分，假設不考慮花瓶與環套厚度，判斷圖(十六)的環套是否能在不變形的前提下，套在此圓柱形花瓶側面外圍？
（提示：圖(十八)提供 $45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ$ 與 $22.5^\circ\!-\!67.5^\circ\!-\!90^\circ$ 三角形當斜邊為 1 時的兩股近似值）