三角形

\(L: x-2y=-4 \Rightarrow y=\frac{x+4}{2}\)。
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{OP} = (1,0)\)，平行意味著 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} = k(1,0)\)，即 y=0，代入 L 得 x=-4，A=(-4,0) 在 L 上，正確。
(2) 垂直則內積 0，設 B=(x,(x+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = x = 0\)，得 B=(0,2) 在 L 上，正確。
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\rightharpoonup}{PC} = 0\)，設 C=(t,(t+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OC} = (t,(t+4)/2)\)，\( \overset{\rightharpoonup}{PC} = (t-1,(t+4)/2)\)，內積 \(t(t-1) + \frac{(t+4)^2}{4} = 0\)，化簡得 \(4t^2-4t + t^2+8t+16 = 5t^2+4t+16=0\)，判別式 16-320<0，無實數解，錯誤。
(4) 設 D=(t,(t+4)/2)，\(PD^2 = (t-1)^2 + ((t+4)/2)^2 = 4\)，化簡得 \(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+20=0\)? 檢查：乘4：\(4(t-1)^2 + (t+4)^2 = 4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 4\times 4=16\)? 我算錯。正確：\( (t-1)^2 + \frac{(t+4)^2}{4} = 4\)，乘以4：\(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 16\)，得 \(5t^2= -4\) 無解，錯誤。
(5) 等腰三角形 EOP：可能 EO=EP 或 EO=OP 或 EP=OP。OP=1。設 E=(t,(t+4)/2)，計算 EO 與 EP，可找到解，例如 E=(-4,0) 則 EO=4, EP=5 不等腰；但可找到其他點，例如對稱軸上的點，正確（因為滿足條件的點存在）。
答案為 (1)(2)(5)。

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求A點：解 \( \begin{cases} 5x+3y=5 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=4 \)，\( y=-5 \)，故 \( A(4,-5) \)
求B點：解 \( \begin{cases} 3x+2y=6-2a \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=2a \)，\( y=3-4a \)，故 \( B(2a,3-4a) \)
三角形OAB面積 = \( \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |4(3-4a) - 2a(-5)| = \frac{1}{2} |12-16a+10a| = \frac{1}{2} |12-6a| = 3|2-a| = 3|a-2| \)
答案：(4)

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已知三角形 \(ABC\) 中：
\[
\angle A = 91^\circ, \quad \angle C = 29^\circ, \quad \angle B = 60^\circ
\]
（因為 \(180^\circ - 91^\circ - 29^\circ = 60^\circ\)）

邊長：
\[
BC = a, \quad CA = b, \quad AB = c
\]
（即 \(a\) 對 \(\angle A\)，\(b\) 對 \(\angle B\)，\(c\) 對 \(\angle C\)）

---

**(1) \( a^2 > b^2 + c^2 \)**

由餘弦定理：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
\(\cos 91^\circ < 0\)，所以 \(-2bc\cos A > 0\)，因此
\[
a^2 > b^2 + c^2
\]
✅ 正確。

---

**(2) \( \frac{c}{a} > \sin 29^\circ \)**

正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
所以
\[
\frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 29^\circ}{\sin 91^\circ}
\]
\(\sin 91^\circ \approx \sin 90^\circ = 1\)，實際略大於 1（\(\sin 91^\circ \approx 0.99985\)），所以
\[
\frac{c}{a} \approx 0.99985^{-1} \times \sin 29^\circ \approx 1.00015 \times 0.4848 \approx 0.48487
\]
而 \(\sin 29^\circ \approx 0.4848\)，比較：
\[
\frac{c}{a} \approx 0.48487 > 0.4848
\]
✅ 正確（雖然很接近，但確實大於）。

---

**(3) \( \frac{b}{a} > \cos 29^\circ \)**

\[
\frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 91^\circ} \approx \frac{0.866025}{0.99985} \approx 0.86615
\]
\(\cos 29^\circ \approx 0.87462\)，比較：
\[
0.86615 < 0.87462 \] ❌ 錯誤。 --- **(4) \( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} < \sqrt{3} \)** 由餘弦定理： \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 所以 \[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = 2\cos C = 2\cos 29^\circ \approx 2 \times 0.87462 \approx 1.74924 \] \(\sqrt{3} \approx 1.732\)，比較： \[ 1.74924 > 1.732
\]
❌ 錯誤。

---

**(5) 外接圓半徑小於 \(c\)**

外接圓半徑 \(R = \frac{a}{2\sin A} \approx \frac{a}{2 \times 0.99985} \approx 0.500075 \times a\)
由正弦定理：
\[
c = 2R \sin C \implies R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{c}{2 \times 0.4848} \approx \frac{c}{0.9696} \approx 1.0314 \times c
\]
等等，這裡要小心：題目給的 \(a,b,c\) 是邊長，\(R\) 是固定值。
用 \(a = 2R\sin A\)，\(c = 2R\sin C\)。
比較 \(R\) 與 \(c\)：
\[
c = 2R\sin C \implies \frac{R}{c} = \frac{1}{2\sin C} \approx \frac{1}{0.9696} \approx 1.0314
\]
所以 \(R \approx 1.0314 \times c > c\)，因此 \(R < c\) 不成立。 ❌ 錯誤。 --- **正確選項：** (1)、(2) \[ \boxed{12} \]

根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
由餘弦定理\(\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{25 + 36 - 64}{2\times5\times6}=-\frac{1}{20}\)；
\(\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{25 + 64 - 36}{2\times5\times8}=\frac{53}{80}\)；
\(\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{36 + 64 - 25}{2\times6\times8}=\frac{75}{96}=\frac{25}{32}\)。
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos A=5\times6\times(-\frac{1}{20})=-\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)=-5\times8\times\frac{53}{80}=-\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}=25\)。
比較可得\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}\)最大。
答案為(4)。

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設直線 \( L: y = k \)，與 \( L_1: 3x-4y=0 \)、\( L_2: 4x+3y=0 \) 的交點分別為 \( A、B \)：
- 代入 \( L_1 \) 得 \( A\left(\frac{4k}{3}, k\right) \)；
- 代入 \( L_2 \) 得 \( B\left(-\frac{3k}{4}, k\right) \)。

計算 \( \overline{AB} \) 的長度：
\[
\overline{AB} = \frac{4k}{3} - \left(-\frac{3k}{4}\right) = \frac{25k}{12}
\]
由 \( \overline{AB}=30 \)，得：
\[
\frac{25k}{12}=30 \implies k=\frac{72}{5}
\]

故 \( \triangle OAB \) 的面積為：
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times k = \frac{1}{2} \times 30 \times \frac{72}{5} = 216
\]

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設 \( A(6n, 0) \)、\( B(0, 3) \)，直線 \( AB \) 的方程為 \( y = -\frac{1}{2n}x + 3 \)，\( T_n \) 是 \( \triangle OAB \) 內部（含邊界）的區域。

統計 \( T_n \) 內整數點的個數 \( a_n \)：
- 當 \( y=0 \) 時，\( x \) 可取 \( 0 \sim 6n \)，共 \( 6n+1 \) 個點；
- 當 \( y=1 \) 時，代入直線方程得 \( x \leq 4n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 4n \)，共 \( 4n+1 \) 個點；
- 當 \( y=2 \) 時，代入得 \( x \leq 2n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 2n \)，共 \( 2n+1 \) 個點；
- 當 \( y=3 \) 時，僅有 \( (0, 3) \)，共 \( 1 \) 個點。

因此：
\[
a_n = (6n+1) + (4n+1) + (2n+1) + 1 = 12n + 4
\]

求極限：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{12n + 4}{n} = 12
\]

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