三角形

首先求正八邊形的面積。
把正八邊形分割成8個等腰三角形，每個等腰三角形的頂角為\(\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}\)，腰長為\(\sqrt{1 - h^{2}}\)（由\(\vert\overrightarrow{OP_j}\vert = 1\)，利用勾股定理得到圓的半徑）。
等腰三角形的面積\(S_{單個}=\frac{1}{2}r^2\sin\theta\)（\(r\)為腰長，\(\theta\)為頂角），所以每個等腰三角形面積\(S_{單個}=\frac{1}{2}(\sqrt{1 - h^{2}})^2\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}(1 - h^{2})}{4}\)。
則正八邊形的面積\(S = 8\times\frac{\sqrt{2}(1 - h^{2})}{4}=2\sqrt{2}(1 - h^{2})\)。
已知角錐體積\(V=\frac{1}{3}\)底面積×高，此正八角錐的高為\(h\)，底面積為正八邊形面積\(S = 2\sqrt{2}(1 - h^{2})\)。
所以\(V(h)=\frac{1}{3}\times2\sqrt{2}(1 - h^{2})h=\frac{2\sqrt{2}}{3}(h - h^{3})\)。

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$\dfrac{8}{25}$

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從6、8、10、12中任取三個相異數字構成三角形，根據大邊對大角，要使\(\cos\theta\)最小，則最大邊所對的角最大。
由餘弦定理\(\cos\theta=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)（\(c\)為最大邊）。
分別討論：
若取6、8、10，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-10^{2}}{2\times6\times8}=0\)；
若取6、8、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-12^{2}}{2\times6\times8}=-\frac{11}{24}\)；
若取6、10、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times6\times10}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}\)；
若取8、10、12，\(\cos\theta=\frac{8^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times8\times10}=\frac{64 + 100 - 144}{160}=\frac{1}{8}\)。
所以\(\cos\theta\)的最小值為\(-\frac{11}{24}\) 。

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$令\angle A=\theta,\cos\angle MAN=\cos(60^{\circ}+\theta)\\
\cos(60^{\circ}+\theta)=\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta=\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\\
\Delta MAN中,\overline{MN}^2=1^2+(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}})^2-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{13}{3}$

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證明：由\(\triangle ABC\cong\triangle ACQ\)可得\(CQ = BC = 10\)。過\(A\)作\(AH\perp FC\)於\(H\)，可得\(FH = 15\) 。因為\(\triangle AFH\)與截面相似，相似比為\(\frac{15 - x}{15}\)。設截面矩形長為\(l\)，寬為\(w\)，由相似比可得\(\frac{l}{40}=\frac{15 - x}{15}\)，\(l=\frac{40(15 - x)}{15}=\frac{8(15 - x)}{3}\)；同理可得\(\frac{w}{10}=\frac{15 - x}{15}\) ，\(w=\frac{10(15 - x)}{15}=\frac{2(15 - x)}{3}\)。截面面積\(S = lw\) ，代入化簡可得\(S = 20x+\frac{4}{9}x^{2}\) 。

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15. 求\(f(x)\)及其導函數已知\(|\vec{a}| = x\)，則\(|\vec{b}| = 9 - x\)。由\(|\vec{a} - \vec{b}| = 7\)，根據向量模長公式：\(7^2 = x^2 + (9 - x)^2 - 2x(9 - x)\cos\theta\)
展開整理得：\(49 = 2x^2 - 18x + 81 - 2x(9 - x)\cos\theta \implies \cos\theta = \frac{16}{9x - x^2} - 1\)
故\(f(x) = \frac{16}{9x - x^2} - 1\)。求導：\(f'(x) = \frac{16 \cdot (2x - 9)}{(9x - x^2)^2} = \frac{32x - 144}{(9x - x^2)^2}\)
16. \(f(x)\)的單調性與\(\theta\)最大值當\(1 < x < 4.5\)，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\)遞減；當\(4.5 < x < 8\)，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\)遞增。\(\cos\theta\)越小，\(\theta\)越大。\(f(x)\)在\(x = 4.5\)時取最小值，此時\(\cos\theta=-\frac{17}{81}\)最小，故\(x = 4.5\)時，\(\theta\)最大。17. 一次估計求\(\cos\theta\)取\(x_0 = 5\)，計算：\(f(5) = \frac{16}{25} - 1 = -0.2, \quad f'(5) = \frac{16}{400} = 0.04\)
當\(x = 4.96\)，\(\Delta x = -0.04\)，線性近似：\(f(4.96) \approx f(5) + f'(5) \cdot (-0.04) = -0.2 - 0.0016 = -0.2016\)

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