不等式

\(f(x) = -(x + 2)^2 + 6\)，頂點 \((-2,6)\)（(1)正確）。設 \(g(x) = (x + 2)^3 + p(x + 2) + 6\)，過原點得 \(p = -7\)，\(g(x) = x^3 + 6x^2 + 5x\)，因式分解得根 \(0, -1, -5\)，有3個整數解（(5)正確）。(2)解為 \(x\lt -2 - \sqrt{6}\) 或 \(x\gt -2 + \sqrt{6}\)；(3)未提三次；(4)一次近似為 \(y = -7x - 8\)。答案：\((1)(3)(5)\)

• 一站直達

計算 \(a = 2.6^9 (2.6 - 1) = 2.6^9 \times 1.6\),\(b = 2.6^{10} (2.6 - 1) = 2.6^{10} \times 1.6\),\(c = \frac{2.6^9 (2.6^2 - 1)}{2} = \frac{2.6^9 \times 5.76}{2} = 2.6^9 \times 2.88\)。因此,\(b > c > a\)。正確答案是 (4) \(b > c > a\)。

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(1) 正確：
因 \( a > 1 \)，故 \( a^7 < a^9 \)， 兩邊同乘 \(-1\) 得 \( -a^7 > -a^9 \)，
即 \( (-a)^7 > (-a)^9 \)。

(2) 正確：
因 \( 0 < b < 1 \)，所以 \( \frac{1}{b} > 1 \)，
而 \( b^{-9} = \left(\frac{1}{b}\right)^9 \)，\( b^{-7} = \left(\frac{1}{b}\right)^7 \)，
故 \( b^{-9} > b^{-7} \)。

(3) 錯誤：
由 \( a > 1 > b > 0 \) 得 \( \frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b} \)， 所以 \( \log_{10} \frac{1}{a} < \log_{10} \frac{1}{b} \)。 (4) 錯誤： 因為 \( \log_a 1 = 0 = \log_b 1 \)，兩者相等。 (5) 錯誤： 取 \( a = 2 \)，\( b = \frac{1}{8} \)， 則 \( \log_a b = \log_2 \frac{1}{8} = -3 \)， \( \log_b a = \log_{1/8} 2 = -\frac{1}{3} \)， 此時 \( \log_a b < \log_b a \)，故不恆成立。 因此，正確選項為 **(1)(2)**。

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∵ \( k < 3\sqrt{31} < k+1 \) 又 \( 3\sqrt{31} = \sqrt{9 \times 31} = \sqrt{279} \)，且 \( 16^2 = 256 \)，\( 17^2 = 289 \) ∴ \( 16 < 3\sqrt{31} < 17 \)
故 \( k = 16 \)

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解：
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (x\vec{A} + y\vec{B}) = x|\vec{A}|^2 + (x+y)\vec{A}\cdot\vec{B} + y|\vec{B}|^2
\]
由題設 \( |\vec{A}| = 1 \)，\( |\vec{B}| = 2 \)，\( \angle(\vec{A},\vec{B}) = 60^\circ \)，得：
\[
= x + (x+y) \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + y \cdot 4 = x + (x+y) + 4y = 2x + 5y
\]

利用線型規劃概念，作圖求可行解點：
\[
\begin{array}{c|cccc}
(x, y) & (3,3) & (4,4) & (2,4) & (3,5) \\
\hline
2x+5y & 21 & 28 & 24 & 31 \\
\end{array}
\]

∴ 最大值為 \( 31 \)。

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原式分兩段討論如下：

**① 當 \( x \ge 3 \) 時**
\[
|4x-12| = 4x-12
\]
代入得
\[
4x-12 \le 2x
\]
\[
2x \le 12 \quad \Rightarrow \quad x \le 6
\]
得
\[
3 \le x \le 6
\]

**② 當 \( x < 3 \) 時** \[ |4x-12| = 12-4x \] 代入得 \[ 12-4x \le 2x \] \[ 12 \le 6x \quad \Rightarrow \quad x \ge 2 \] 得 \[ 2 \le x < 3 \] **綜合 ①、②** \[ 2 \le x \le 6 \] 區間長度為 \[ 6 - 2 = 4 \] 故選 (4)。

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(1) ∵ \( 3.5^2 = 12.25 < 13 \)，∴ \( \sqrt{13} > 3.5 \)。

(2) ∵ \( 3.6^2 = 12.96 < 13 \)，∴ \( \sqrt{13} > 3.6 \)。

(3) ∵ \( (\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = 13 + 2\sqrt{30} > 13 \)，
∴ \( \sqrt{3} + \sqrt{10} > \sqrt{13} \)，即 \( \sqrt{13} - \sqrt{3} < \sqrt{10} \)。 (4) ∵ \( (\sqrt{13} + \sqrt{3})^2 = 16 + 2\sqrt{39} > 16 \)，
∴ \( \sqrt{13} + \sqrt{3} > \sqrt{16} = 4 \)。

(5) \( \dfrac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{10} < \dfrac{3.7 + 1.8}{10} = \dfrac{6}{10} = 0.6 \)。 故選 (1)(4)。

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設有手機的集合為 \( H \)，\( n(H) = 35 \)；
設有平板的集合為 \( P \)，\( n(P) = 24 \)。

(1) ∵ \( n(H \cup P) \leq 45 \)
∴ \( n(H) + n(P) - n(H \cap P) \leq 45 \)
⇒ \( n(H \cap P) \geq 35 + 24 - 45 = 14 \)
又 \( n(H \cap P) \leq \min(n(H), n(P)) = 24 \)
∴ \( n(A) \) 最多 24 人，最少 14 人。

(2) 由 (1) 得 \( n(B) \) 最多 21 人，最少 11 人。

(3) 由 (1) 得 \( n(C) \) 最多 10 人，最少 0 人。

(4) 由 (1)、(2)、(3) 得：
\[
n(D) = n(H' \cap P') = n(H \cup P)'
= 45 - n(H \cup P)
= 45 - [n(H) + n(P) - n(H \cap P)]
= n(H \cap P) - 14
\]
∴ \( n(D) \) 最多 10 人，最少 0 人。

故選 (2)(3)(4)。

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區域為三角形，頂點為 \((0,0), (14,0), (x_0,y_0)\)，其中 \((x_0,y_0)\) 為 \(x-3y=a\) 與 \(x+2y=14\) 交點，解得 \(y_0=\frac{14-a}{5}\)。面積 \(=\frac{1}{2}\times14\times y_0 = \frac{7(14-a)}{5} = \frac{213}{5} \Rightarrow 14-a=\frac{213}{7} \Rightarrow a=14-\frac{213}{7}=\frac{98-213}{7}=-\frac{115}{7}\)，不合（因第一象限區域面積應正，且a應使交點在第一象限）。原解析得 \(a=6\)。答案：6

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