中點

設 \(\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}\)，\(\overrightarrow{AC} = \mathbf{c}\)。
- 因 \(D\) 為 \(\overline{AB}\) 中點，故 \(\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\mathbf{b}\)。
- 由 \(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}\)，得 \(\overrightarrow{AE} = 3\mathbf{c}\)。

已知 \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = \mathbf{c} \cdot \frac{1}{2}\mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 15\)，故 \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 30\)。

因此，\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = \mathbf{b} \cdot 3\mathbf{c} = 3(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}) = 3 \times 30 = 90\)。

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\(\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{PB}\) 表示 \(P\) 為 \(AB\) 的中垂線與 \(L\) 的交點
AB中點 \(M=(\frac{-3+3}{2},\frac{4+2}{2})=(0,3)\)
AB向量 \(\overrightarrow{AB}=(6,-2)\)，中垂線法向量為(6,-2)
中垂線方程：\(6(x-0)-2(y-3)=0\) ⇒ \(6x-2y+6=0\) ⇒ \(3x-y+3=0\)
與 \(L: 4x-3y-1=0\) 聯立：
由 \(3x-y+3=0\) 得 \(y=3x+3\)，代入L：\(4x-3(3x+3)-1=0\) ⇒ \(4x-9x-9-1=0\) ⇒ \(-5x-10=0\) ⇒ \(x=-2\)
\(y=3(-2)+3=-3\)
故 \(P(-2,-3)\)
答案：\((-2,-3)\)

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204
設兩鄰邊向量：
\( \vec{u} \parallel 5x-y=0 \Rightarrow \vec{u} = b(1,5) \)
\( \vec{v} \perp 3x-2y=0 \Rightarrow \vec{v} = a(3,-2) \)
對角線向量和：\( \vec{u} + \vec{v} = 2\overrightarrow{PQ} = (20,-2) \)
解 \( (3a+b, -2a+5b) = (20,-2) \) 得 \( a=6, b=2 \)
面積 =\( |\begin{vmatrix}2&10 \\ 18&-12 \end{vmatrix}| = |2 \cdot (-12) - 10 \cdot 18| = |-24 - 180| = 204 \)

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非選擇題評分原則

設\(z = a + bi\)，\(\overline{z}=a - bi\)，由\(z-\overline{z}=-3i\)可得\((a + bi)-(a - bi)=-3i\)，即\(2bi=-3i\)，解得\(b = -\frac{3}{2}\)，所以\(z=a-\frac{3}{2}i\)。
\(\vert\sqrt{7}+8i - z\vert=\vert\sqrt{7}+8i-(a-\frac{3}{2}i)\vert=\vert(\sqrt{7}-a)+(\frac{19}{2}i)\vert=\sqrt{(\sqrt{7}-a)^{2}+(\frac{19}{2})^{2}}\)，它表示複平面上點\(Z(a,-\frac{3}{2})\)到點\(A(\sqrt{7},8)\)的距離。
點\(A(\sqrt{7},8)\)到直線\(y = -\frac{3}{2}\)的距離就是\(\vert\sqrt{7}+8i - z\vert\)的最小值，即\(8-(-\frac{3}{2})=\frac{16 + 3}{2}=\frac{19}{2}\)。
答案為\(\frac{19}{2}\)。

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(1) ○：\( y = \log_2 x \) 是遞增函數，故直線 \( L \) 的斜率為正（大於0）。
(2) ×：\( R \) 是 \( P、Q \) 中點，故 \( \frac{b+d}{2} = 0 \implies b = -d \)。
若 \( bd = -1 \)，則 \( -d^2 = -1 \implies d = \pm1 \)（取正），此時僅 \( P\left(\frac{1}{2}, -1\right)、Q(2, 1) \) 滿足，其他點坐標不成立。
(3) ○：由 \( \log_2 a = b \)、\( \log_2 c = d \) 且 \( b + d = 0 \)，得：
\[
\log_2 a + \log_2 c = 0 \implies \log_2(ac) = 0 \implies ac = 2^0 = 1
\]
(4) ×：\( y = \log_2 x \) 過 \( (1,0) \) 且圖形凹口向上（非向下）；若 \( L \) 的 \( y \)-截距大於 \( -1 \)，則 \( PR \neq RQ \)。
(5) ○：同(4)，直線 \( L \) 的 \( x \)-截距大於1。

故選 \( \boxed{(1)(3)(5)} \)。

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\(m=\frac{1}{2}\)。

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首先求圓心到直線\(x + y = 0\)的距離\(d_1\)。
由弦長公式\(l = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)（其中\(l\)是弦長，\(r\)是圓半徑，\(d\)是圓心到直線的距離），已知弦長\(l = 8\)，半徑\(r = 12\)，可得\(d_1=\sqrt{12^{2}-4^{2}}=\sqrt{144 - 16}=8\sqrt{2}\)。
設圓心坐標為\((x_0,y_0)\)，則\(d_1=\frac{\vert x_0 + y_0\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=8\sqrt{2}\)，即\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)。
再求圓心到直線\(x + y = 24\)的距離\(d_2\)，\(d_2=\frac{\vert x_0 + y_0 - 24\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\)。
由\(\vert x_0 + y_0\vert = 16\)，分兩種情況：
若\(x_0 + y_0 = 16\)，則\(d_2=\frac{\vert16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\)；若\(x_0 + y_0 = -16\)，則\(d_2=\frac{\vert - 16 - 24\vert}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\)（此時圓與直線\(x + y = 24\)相離，舍去）。
所以\(d_2 = 4\sqrt{2}\)。
根據弦長公式求\(\vert PQ\vert\)，\(\vert PQ\vert = 2\sqrt{r^{2}-d_2^{2}} = 2\sqrt{12^{2}-(4\sqrt{2})^{2}} = 2\sqrt{144 - 32}=2\sqrt{112}=8\sqrt{7}\) 。

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