二、(4) 試求向量 \( \overrightarrow{AC} \)。
[非選擇題]\begin{align*}
(4) \quad &\text{點 } B \text{ 坐標為：} \ (2, -1) + (-2\sqrt{5}, \sqrt{5}) = (2 - 2\sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}) \\
\\
&L_2: \ y - (-1 + \sqrt{5}) = 2\left(x - (2 - 2\sqrt{5})\right) \\
&\quad \implies 2x - y = 5 - 5\sqrt{5} \\
\\
&L_3: \ y + 1 = 3(x - 2) \\
&\quad \implies 3x - y = 7 \\
\\
&將 \ L_2、L_3 \ 聯立，得交點 \ C(x, y) = (2 + 5\sqrt{5}, 15\sqrt{5} - 1) \\
\\
&故 \ \overrightarrow{AC} = (5\sqrt{5}, 15\sqrt{5})
\end{align*}
若向量 \(\overset{\rightharpoonup}{A} = (a_1, a_2)\)，向量 \(\overset{\rightharpoonup}{B} = (b_1, b_2)\)，且內積 \(\overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} = 1\)，則矩陣乘積 \(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\) 等於下列哪一個選項？
(1) [1 1]
(2) [2 2]
(3) \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
矩陣乘法：\(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \\ \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
答案為 (3)。
考慮坐標平面上相異五點 \(O、A、B、C、D\)。已知向量 \(\overset{\rightharpoonup}{OC} = 3\overset{\rightharpoonup}{OA} 、 \overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB}\)，且向量 \(\overset{\rightharpoonup}{AB}\) 的坐標表示為 \(\overset{\rightharpoonup}{AB} = (3, -4)\)，試回答下列問題。
(1) 試以坐標表示向量 \(\overset{\rightharpoonup}{DC}\)。
(1) 設\( O \)為坐標原點，則
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3, -4)
\]
又
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{DC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} \\
&= 3(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = -3(3, -4) = (-9, 12)
\end{align*}
\]
(2) 若 \(\overset{\rightharpoonup}{OA} = (1, 2)\)，試利用二階行列式與面積的關係，求 \(\Delta OCD\) 的面積。
[非選擇題](2) 承接(1)，已知\(\overrightarrow{OA} = (1, 2)\)，故\(\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA} = (3, 6)\)。
由\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)，得
\[
\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA} = (3, -4) + (1, 2) = (4, -2)
\]
因此\(\overrightarrow{OD} = 3\overrightarrow{OB} = (12, -6)\)。
△\(OCD\)的面積可由行列式公式計算：
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 12 & -6 \end{vmatrix} \right| = \frac{1}{2} \left| 3 \times (-6) - 6 \times 12 \right| = \frac{1}{2} \left| -18 - 72 \right| = 45 \ (\text{平方單位})
\]
三個點電荷排列成一直線，若Q 為電量（Q ＞0），R 為點電荷間的距離，且所有電荷皆固定不動，則下列選項中，位於左端的電荷所受到靜電力的合力量值何者最大？
計算左端電荷受力。選項(A)：左端+2Q受中+Q斥力\(k(2Q)(Q)/R^2\)向右，受右-2Q引力\(k(2Q)(2Q)/(2R)^2 = k(4Q^2)/(4R^2)=kQ^2/R^2\)向左，合力為\(2kQ^2/R^2 - kQ^2/R^2 = kQ^2/R^2\)向右。
選項(E)：左端+Q受中-2Q引力\(k(Q)(2Q)/R^2=2kQ^2/R^2\)向右，受右+2Q斥力\(k(Q)(2Q)/(2R)^2 = k(2Q^2)/(4R^2)=0.5kQ^2/R^2\)向左，合力為\(2 - 0.5 = 1.5 kQ^2/R^2\)向右，為最大。答案為(E)。
設\(\overset{\rightharpoonup}{u}=(1,2,3)\)、\(\overset{\rightharpoonup}{v}=(1,0,-1)\)、\(\overset{\rightharpoonup}{w}=(x,y,z)\)為空間中三個向量，且向量\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)與向量\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}\)平行。若行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=-12\)，則\(\overset{\rightharpoonup}{w}=(\)__________，__________，__________)。
[選填題]先求\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}=\begin{vmatrix}\overset{\rightharpoonup}{i}&\overset{\rightharpoonup}{j}&\overset{\rightharpoonup}{k}\\1&2&3\\1&0&-1\end{vmatrix}=\overset{\rightharpoonup}{i}(-2 - 0)-\overset{\rightharpoonup}{j}(-1 - 3)+\overset{\rightharpoonup}{k}(0 - 2)=(-2,4,-2)\)。
因為\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)與\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}\)平行，所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=k(-2,4,-2)=(-2k,4k,-2k)\)。
又\(\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=1\times(0 + y)-2\times(z + x)+3\times(y - 0)=4y-2x - 2z=-12\)，把\(x=-2k\)，\(y = 4k\)，\(z=-2k\)代入得\(4\times4k-2\times(-2k)-2\times(-2k)=-12\)，即\(16k + 4k + 4k=-12\)，\(24k=-12\)，解得\(k = -\frac{1}{2}\)。
所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=(1,-2,1)\)。
答案依次為\(1\)、\(-2\)、\(1\)。
如圖，已知圓\(O\)與直線\(BC\)、直線\(AC\) 、直線\(AB\)均相切，且分別相切於\(D\)、\(E\)、\(F\)。又\(BC = 4\)，\(AC = 5\)，\(AB = 6\) 。若將\(\overrightarrow{AD}\)表示成\(\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\)，則\(\alpha+\beta\)之值為何?(5分)
[非選擇題]因此：
\[
\overline{BD} = \frac{3}{2},\ \overline{CD} = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \implies \overline{BD} : \overline{CD} = 3:5
\]
由分點公式，\( \overrightarrow{AD} = \frac{5}{8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{AC} \)，故 \( \alpha = \frac{5}{8} \)，\( \beta = \frac{3}{8} \)。
設\(\vec{u}\)與\(\vec{v}\)為兩非零向量，夾角為\(120^{\circ}\)。若\(\vec{u}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)垂直，試選出正確的選項。
(1)\(\vec{u}\)的長度是\(\vec{v}\)的長度的\(2\)倍
(2)\(\vec{v}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)的夾角為\(30^{\circ}\)
(3)\(\vec{u}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為銳角
(4)\(\vec{v}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為銳角
(5)\(\vec{u}+\vec{v}\)的長度大於\(\vec{u}-\vec{v}\)的長度
已知\(\vec{u}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)垂直，則\(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v}) = 0\)，即\(\vec{u}^{2}+\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)。
設\(\vert\vec{u}\vert = m\)，\(\vert\vec{v}\vert = n\)，由向量數量積公式\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}mn\)，\(\vec{u}^{2}=m^{2}\)，可得\(m^{2}-\frac{1}{2}mn = 0\)，因為\(m\neq0\)（\(\vec{u}\)是非零向量），所以\(m-\frac{1}{2}n = 0\)，即\(n = 2m\)，\(\vec{v}\)的長度是\(\vec{u}\)的長度的\(2\)倍，(1)錯誤。
\(\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}=-\frac{1}{2}mn + n^{2}\)，把\(n = 2m\)代入得\(-\frac{1}{2}m\times2m+(2m)^{2}=-m^{2}+4m^{2}=3m^{2}\)。
\(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert=\sqrt{\vec{u}^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\sqrt{m^{2}+2\times(-\frac{1}{2}mn)+n^{2}}=\sqrt{m^{2}-mn + n^{2}}\)，把\(n = 2m\)代入得\(\sqrt{m^{2}-m\times2m+(2m)^{2}}=\sqrt{3}m\)。
\(\cos\langle\vec{v},\vec{u}+\vec{v}\rangle=\frac{\vec{v}\cdot(\vec{u}+\vec{v})}{\vert\vec{v}\vert\vert\vec{u}+\vec{v}\vert}=\frac{3m^{2}}{2m\times\sqrt{3}m}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(\vec{v}\)與\(\vec{u}+\vec{v}\)的夾角為\(30^{\circ}\)，(2)正確。
\(\vec{u}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{2}-\vec{u}\cdot\vec{v}=m^{2}-(-\frac{1}{2}mn)=m^{2}+\frac{1}{2}mn\)，把\(n = 2m\)代入得\(m^{2}+\frac{1}{2}m\times2m = 2m^{2}\gt0\)，所以\(\vec{u}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為銳角，(3)正確。
\(\vec{v}\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}-\vec{v}^{2}=-\frac{1}{2}mn - n^{2}\)，把\(n = 2m\)代入得\(-\frac{1}{2}m\times2m-(2m)^{2}=-m^{2}-4m^{2}=-5m^{2}\lt0\)，所以\(\vec{v}\)與\(\vec{u}-\vec{v}\)的夾角為鈍角，(4)錯誤。
\(\vert\vec{u}-\vec{v}\vert=\sqrt{\vec{u}^{2}-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\sqrt{m^{2}-2\times(-\frac{1}{2}mn)+n^{2}}=\sqrt{m^{2}+mn + n^{2}}\)，把\(n = 2m\)代入得\(\sqrt{m^{2}+m\times2m+(2m)^{2}}=\sqrt{7}m\)。
因為\(\sqrt{3}m\lt\sqrt{7}m\)，即\(\vert\vec{u}+\vec{v}\vert\lt\vert\vec{u}-\vec{v}\vert\)，(5)錯誤。
答案為(2)(3)。
坐標空間中，\(O(0,0,0)\)為原點。平面\(z = h\)（其中\(0≤h≤1\)）上有一以\((0,0,h)\)為圓心的圓，在此圓上依逆時針順序取8點構成正八邊形\(P_0P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7\)，使得各線段\(\overline{OP_j}(0≤j≤7)\)的長度都是1。在\(\overrightarrow{OP_0}\)和\(\overrightarrow{OP_4}\)夾角不超過\(90^{\circ}\)的條件下，試問正八角錐體積\(V(h)\)的最大值為何？(6分)
[非選擇題]已知條件：
1. \( \sqrt{1-h^2} \geq 0 \implies 0 \leq h \leq 1 \)；
2. \( \overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_2} = 2h^2 - 1 \geq 0 \)（夾角不超過 \( 90^\circ \)），故 \( h \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)。
由①②得 \( \boxed{\frac{1}{\sqrt{2}} \leq h \leq 1} \)。
設體積函數 \( V(h) \)，其導數為 \( V'(h) = \frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^2) \)，令 \( V'(h)=0 \)，得 \( h = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)（均不在區間 \( \left[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right] \) 內，故無臨界點）。
因此體積最大值出現在區間端點 \( h = \frac{1}{\sqrt{2}} \) 處：
\[
V\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3}
\]
故最大體積為 \( \boxed{\frac{1}{3}} \)。
坐標平面上，考慮\(A(2,3)\)與\(B(-1,3)\)兩點，並設\(O\)為原點。令\(E\)為滿足\(\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}\)的所有點\(P\)所形成的區域，其中\(-1\leq a\leq1\)，\(0\leq b\leq4\)。考慮函數\(f(x)=x^{2}+5\)，試問當限定\(x\)為區域\(E\)中的點\(P(x,y)\)的橫坐標時，\(f(x)\)的最大值為何？
(1)5
(2)9
(3)30
(4)41
(5)54
已知\(\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OA}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{OB}=(-1,3)\)，則\(\overrightarrow{OP}=(2a - b,3a + 3b)\)，所以\(x = 2a - b\)。
由\(-1\leq a\leq1\)，\(0\leq b\leq4\)，將\(x = 2a - b\)變形為\(b = 2a - x\)。
代入\(0\leq b\leq4\)，得到\(0\leq 2a - x\leq4\)。
當\(a = -1\)時，\(0\leq -2 - x\leq4\)，解得\(-6\leq x\leq -2\)；
當\(a = 1\)時，\(0\leq 2 - x\leq4\)，解得\(-2\leq x\leq2\) 。
所以\(x\)的取值範圍是\(-6\leq x\leq6\)。
對於二次函數\(f(x)=x^{2}+5\)，其二次項係數大於\(0\)，開口向上，在\(x\)的取值範圍\([-6,6]\)内，當\(x = 6\)或\(x = -6\)時，\(f(x)\)取得最大值，\(f(6)=6^{2}+5 = 41\)，\(f(-6)=(-6)^{2}+5 = 41\)。
答案為(4)。
