已知三次實係數多項式函數\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + 2\)，在\(-2\leq x\leq1\)範圍內的圖形如示意圖。試選出正確的選項。
(1)\(a>0\)
(2)\(b>0\)
(3)\(c>0\)
(4)方程式\(f(x)=0\)恰有三實根
(5)\(y = f(x)\)圖形的反曲點的\(y\)坐標為正
多項式
108指考數學甲試題-非選擇二(1)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(1)\) 。(2分)
[非選擇題]
答案
108指考數學甲試題-非選擇二(2)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f'(x)\) 。(4分)
[非選擇題]
答案
對\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)兩邊求導。
根據乘積求導法則\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，左邊求導得\(f(x)+xf'(x)\)。
右邊求導，\((3x^{4}-2x^{3}+x^{2})^\prime=12x^{3}-6x^{2}+2x\) ，\((\int_{1}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。
所以\(f(x)+xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x + f(x)\)。
移項可得\(xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x\)，兩邊同時除以\(x\)（\(x\geq1\)），得到\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)。
108指考數學甲試題-非選擇二(3)
設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(x)\) 。(2分)
[非選擇題]
答案
111分科數學甲試題-04
設多項式\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\) ，\(g(x)=x^{2}+ax + 1\) ，其中\(k\)，\(a\)為實數。已知\(g(x)\)整除\(f(x)\) ，且方程式\(g(x)=0\)有虛根。試選出為方程式\(f(x)=0\)的根之選項。
(1)\(-3\)
(2)\(0\)
(3)\(1\)
(4)\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\)
(5)\(\frac{3+\sqrt{-5}}{2}\)
答案
因為\(g(x)\)整除\(f(x)\)，設\(f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m\) 。
對比\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\)的係數可得：\(a + m = 2\)，\(am + 1=-2\) ，解聯立方程得\(m = 3\)，\(a=-1\) 。
所以\(f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)\) ，對於一元二次方程\(x^{2}-x + 1 = 0\)，由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)（此處\(a = 1\)，\(b=-1\)，\(c = 1\)）可得根為\(x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\) ，所以\(f(x)=0\)的根為\(-3\)，\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) ，答案為(1)(4)。