定積分求導法則

考慮兩個函數\(f(x)= \begin{cases}1 + x, & x \leq1 \\ 1, & x>1\end{cases}\)、\(g(x)= \begin{cases}1, & x \leq1 \\ 3 – x, & x>1\end{cases}\)。關於函數的極限，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在

關於非常數的實係數多項式函數\(f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(f(c)=0\)
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，則對任意的\(c \in(1,2)\)，\(f(c) ≠0\)均成立
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，則存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)
(4)若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，則\(f(1)f(2)<0\)

試求極限\(\lim \limits_{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}]\)的值。
(1)\(10^{9}\)
(2)\(10^{9} \times(2^{10}-1)\)
(3)\(2^{9} \times(10^{10}-1)\)
(4)\(10^{9}×2^{10}\)
(5)\(2^{9}×10^{10}\)

試問極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} \left( \sqrt{4n^2 + 9 \times 1^2} + \sqrt{4n^2 + 9 \times 2^2} + \cdots + \sqrt{4n^2 + 9 \times (n-1)^2} \right) \]
的值可用下列哪一個定積分表示？
(1) \(\int_0^3 \sqrt{1+x^2} \, dx\)
(2) \(\int_0^3 \sqrt{1+9x^2} \, dx\)
(3) \(\int_0^3 \sqrt{4+x^2} \, dx\)
(4) \(\int_0^3 \sqrt{4+9x^2} \, dx\)
(5) \(\int_0^3 \sqrt{4x^2+9} \, dx\)

假設兩數列\(\lt a_{n}\gt\)、\(\lt b_{n}\gt\) ，對所有正整數\(n\)都滿足\(b_{n}+\frac{4n – 1}{n}\lt a_{n}\lt 3b_{n}\) 。已知\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=6\) ，試選出正確的選項。
(1)\(b_{n}\lt6-\frac{4n – 1}{n}\)
(2)\(b_{n}\gt\frac{4n – 1}{2n}\)
(3)數列\(\lt b_{n}\gt\)有可能發散
(4)\(a_{10000}\lt6.1\)
(5)\(a_{10000}\gt5.9\)