\(\triangle ABC\) 中，已知 \(\overline{AB} = \overline{BC} = 3\)，\(\cos \angle ABC = -\frac{1}{8}\)。在 \(\triangle ABC\) 的外接圓上有一點 \(D\) 滿足 \(\overline{BD} = 4\)，且 \(\overline{AD} \leq \overline{CD}\)，則 \(\overline{CD} = \) __________。（化為最簡根式）
[選填題]
答案
平面幾何圖形
113學測數學A考科_06
在同一平面上，相距 \(7\) 公里的 \(A \cdot B\) 兩砲臺，\(A\) 在 \(B\) 的正東方。某次演習時，\(A\) 向西偏北 \(\theta\) 方向發射砲彈，\(B\) 則向東偏北 \(\theta\) 方向發射砲彈，其中 \(\theta\) 為銳角，觀測回報兩砲彈皆命中 9 公里外的同一目標 \(P\)。接著 \(A\) 改向西偏北 \(\frac{\theta}{2}\) 方向發射砲彈，彈著點為 \(9\) 公里外的點 \(Q\)。試問砲臺 \(B\) 與彈著點 \(Q\) 的距離 \(BQ\) 為何？
(1) 4 公里 (2) 4.5 公里 (3) 5 公里 (4) 5.5 公里 (5) 6 公里
答案
113學測數學A考科_08
對任一正整數\(n\geq 2\)，令\(T_n\)表示邊長為\(n,n+1,n+2\)的三角形。試選出正確的選項。
(1) \(T_n\)皆為銳角三角形
(2) \(T_2,T_3,T_4,\ldots,T_{10}\)的周長形成等差數列
(3) \(T_n\)的面積隨\(n\)增大而增大
(4) \(T_5\)的三高依序形成等差數列
(5) \(T_3\)的最大角大於\(T_2\)的最大角
答案
113學測數學A考科_12
在坐標平面上給定三點 \(A(1,0), B(0,1), C(-1,0)\)，令 \(\Gamma\) 為 \(\triangle ABC\) 經矩陣 \(T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}\) 變換後的圖形，其中 \(a\) 為實數。試選出正確的選項。
(1) 若 \(a=0\)，則 \(\Gamma\) 為等腰直角三角形
(2) \(\triangle ABC\) 的邊上至少有兩點經 \(T\) 變換後坐標不變
(3) \(\Gamma\) 必有部分落在第四象限
(4) 平面上找到一個圖形 \(\Omega\) 經 \(T\) 變換後為 \(\triangle ABC\)
(5) \(\Gamma\) 的面積為定值
答案
109指考數學乙(補考)試題-02
在坐標平面上，\( O \) 為原點，考慮直線 \( L_1: 5x+3y=5 \) 與直線 \( L_2: 3x+2y=6-2a \)，其中 \( a \) 為實數。若直線 \( L: 2x+y=3 \) 分別與直線 \( L_1 \) 及直線 \( L_2 \) 交於點 \( A \) 及點 \( B \)，則三角形 \( OAB \) 的面積為下列哪一個選項？
(1) \( \frac{1}{2} |a-2| \)
(2) \( |a-2| \)
(3) \( 2|a-2| \)
(4) \( 3|a-2| \)
(5) \( 6|a-2| \)
答案
求A點：解 \( \begin{cases} 5x+3y=5 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=4 \)，\( y=-5 \)，故 \( A(4,-5) \)
求B點：解 \( \begin{cases} 3x+2y=6-2a \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=2a \)，\( y=3-4a \)，故 \( B(2a,3-4a) \)
三角形OAB面積 = \( \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |4(3-4a) - 2a(-5)| = \frac{1}{2} |12-16a+10a| = \frac{1}{2} |12-6a| = 3|2-a| = 3|a-2| \)
答案：(4) 報錯
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114分科測驗數學乙考科試卷-08
平面上三角形ABC，\(\angle A=91^\circ\)、\(\angle C=29^\circ\)，令\(\overline{BC}=a\)、\(\overline{CA}=b\)、\(\overline{AB}=c\)，試選出正確的選項？
(1) \(a^2\gt b^2+c^2\)
(2) \(\frac{c}{a}\gt\sin29^\circ\)
(3) \(\frac{b}{a}\gt\cos29^\circ\)
(4) \(\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}\lt\sqrt{3}\)
(5) 外接圓半徑小於c
答案
已知三角形 \(ABC\) 中：
\[
\angle A = 91^\circ, \quad \angle C = 29^\circ, \quad \angle B = 60^\circ
\]
（因為 \(180^\circ - 91^\circ - 29^\circ = 60^\circ\)）
邊長：
\[
BC = a, \quad CA = b, \quad AB = c
\]
（即 \(a\) 對 \(\angle A\)，\(b\) 對 \(\angle B\)，\(c\) 對 \(\angle C\)）
---
**(1) \( a^2 > b^2 + c^2 \)**
由餘弦定理：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
\(\cos 91^\circ < 0\)，所以 \(-2bc\cos A > 0\)，因此
\[
a^2 > b^2 + c^2
\]
✅ 正確。
---
**(2) \( \frac{c}{a} > \sin 29^\circ \)**
正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
所以
\[
\frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 29^\circ}{\sin 91^\circ}
\]
\(\sin 91^\circ \approx \sin 90^\circ = 1\)，實際略大於 1（\(\sin 91^\circ \approx 0.99985\)），所以
\[
\frac{c}{a} \approx 0.99985^{-1} \times \sin 29^\circ \approx 1.00015 \times 0.4848 \approx 0.48487
\]
而 \(\sin 29^\circ \approx 0.4848\)，比較：
\[
\frac{c}{a} \approx 0.48487 > 0.4848
\]
✅ 正確（雖然很接近，但確實大於）。
---
**(3) \( \frac{b}{a} > \cos 29^\circ \)**
\[
\frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 91^\circ} \approx \frac{0.866025}{0.99985} \approx 0.86615
\]
\(\cos 29^\circ \approx 0.87462\)，比較：
\[
0.86615 < 0.87462
\]
❌ 錯誤。
---
**(4) \( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} < \sqrt{3} \)**
由餘弦定理：
\[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]
所以
\[
\frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = 2\cos C = 2\cos 29^\circ \approx 2 \times 0.87462 \approx 1.74924
\]
\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，比較：
\[
1.74924 > 1.732
\]
❌ 錯誤。
---
**(5) 外接圓半徑小於 \(c\)**
外接圓半徑 \(R = \frac{a}{2\sin A} \approx \frac{a}{2 \times 0.99985} \approx 0.500075 \times a\)
由正弦定理：
\[
c = 2R \sin C \implies R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{c}{2 \times 0.4848} \approx \frac{c}{0.9696} \approx 1.0314 \times c
\]
等等，這裡要小心：題目給的 \(a,b,c\) 是邊長，\(R\) 是固定值。
用 \(a = 2R\sin A\)，\(c = 2R\sin C\)。
比較 \(R\) 與 \(c\)：
\[
c = 2R\sin C \implies \frac{R}{c} = \frac{1}{2\sin C} \approx \frac{1}{0.9696} \approx 1.0314
\]
所以 \(R \approx 1.0314 \times c > c\)，因此 \(R < c\) 不成立。
❌ 錯誤。
---
**正確選項：** (1)、(2)
\[
\boxed{12}
\] 報錯
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114分科測驗數學甲試卷-06
設指數函數 \(f(x)=1.2^x\)。試選出正確的選項？
(1) \(f(0)\gt0\)
(2) \(f(10)\gt10\)
(3) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 的圖形與直線 \(y=x\) 相交
(4) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 與 \(y=\log(1.2^x)\) 的圖形對稱於直線 \(y=x\)
(5) 對任意正實數 \(b,\log_{1.2}b \neq1.2^b\)
答案
106指考數學甲試題–B
坐標平面上有三條直線\(L\)、\(L_1\)、\(L_2\)，其中\(L\)為水平線，\(L_1\)、\(L_2\)的斜率分別為\(\frac{3}{4}\)、\(-\frac{4}{3}\)。已知\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段長為30，則\(L\)、\(L_1\)、\(L_2\)所決定的三角形的面積為____。
[選填題]
答案
1. **求\(L_1\)與\(L_2\)的夾角**：
- 已知兩直線斜率\(k_1=\frac{3}{4}\)，\(k_2 = -\frac{4}{3}\)，根據兩直線夾角公式\(\tan\theta=\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|\)，可得\(\tan\theta=\left|\frac{\frac{3}{4}-(-\frac{4}{3})}{1+\frac{3}{4}×(-\frac{4}{3})}\right|=\infty\)，所以\(L_1\)與\(L_2\)垂直。
2. **求三角形的高**：
- 設\(L\)與\(L_1\)、\(L_2\)的交點分別為\(A\)、\(B\)，\(L_1\)與\(L_2\)的交點為\(C\)。\(L\)被\(L_1\)、\(L_2\)所截出的線段\(AB = 30\)。
- 因為\(L_1\)與\(L_2\)垂直，所以\(L_1\)與\(L_2\)的交點到\(L\)的距離\(h\)就是\(\triangle ABC\)的高。
- 由斜率\(k_1=\frac{3}{4}\)，可設\(L_1\)的直線方程為\(y=\frac{3}{4}x + b_1\)，\(L_2\)的直線方程為\(y = -\frac{4}{3}x + b_2\)。
- 由於\(L\)是水平線，不妨設\(L\)的方程為\(y = 0\)。
- 根據點到直線的距離公式，\(L_1\)與\(L_2\)的交點到\(L\)的距離\(h\)，可先求出\(L_1\)與\(L_2\)的交點。聯立\(\begin{cases}y=\frac{3}{4}x + b_1\\y = -\frac{4}{3}x + b_2\end{cases}\)，解得交點坐標（含\(b_1\)、\(b_2\)），再代入點到直線距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)（\(L\)：\(Ax + By + C = 0\)即\(0x+1y + 0 = 0\)）。
- 另一種思路，因為\(L_1\)、\(L_2\)斜率分別為\(\frac{3}{4}\)、\(-\frac{4}{3}\)，所以\(L_1\)、\(L_2\)與水平線\(L\)構成的直角三角形中，\(L_1\)、\(L_2\)夾角的正切值已知，截得線段\(AB = 30\)，可利用直角三角形的性質求高\(h\)。
- 由\(L_1\)、\(L_2\)斜率可知，它們與水平線構成的直角三角形中，兩直角邊之比為\(3:4\)，截得線段\(AB\)為斜邊，所以高\(h = 12\)。
3. **計算三角形面積**：
- 三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}×底×高\)，底為\(AB = 30\)，高\(h = 12\)，所以\(S=\frac{1}{2}×30×12 = 180\)。
答案：180 報錯
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106指考數學甲試題-2)
在坐標平面上，考慮二階方陣\(A=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a = \overline{OP_1}\)。試以\(a\)表示\(\triangle P_1P_2P_3\)的面積。(4分)
[非選擇題]
答案
已知\(\overrightarrow{OP_1}=(x,y)\)，\(\overrightarrow{OP_2}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}\)，\(\overrightarrow{OP_3}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{P_1P_2}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4x - 3y\\3x + 4y\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4x - 3y - 5x}{5}\\\frac{3x + 4y - 5y}{5}\end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-x - 3y\\3x - y\end{bmatrix}\)。
\(\overrightarrow{P_1P_3}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_1}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}7x - 24y\\24x + 7y\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{7x - 24y - 25x}{25}\\\frac{24x + 7y - 25y}{25}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}-18x - 24y\\24x - 18y\end{bmatrix}\)。
根據向量叉積求三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\vert\)，對於二維向量\(\overrightarrow{a}=(m,n)\)，\(\overrightarrow{b}=(p,q)\)，\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=mq - np\)。
\(\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}=\frac{1}{5}\times\frac{1}{25}[(-x - 3y)(24x - 18y)-(3x - y)(-18x - 24y)]\)。
展開得：
\[
\begin{align*}
&\frac{1}{125}(-24x^{2}+18xy - 72xy + 54y^{2}+54x^{2}+72xy - 18xy - 24y^{2})\\
=&\frac{1}{125}(30x^{2}+30y^{2})\\
=&\frac{30}{125}(x^{2}+y^{2})
\end{align*}
\]
因為\(a=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，所以\(S=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{P_1P_2}\times\overrightarrow{P_1P_3}\vert=\frac{1}{2}\times\frac{30}{125}(x^{2}+y^{2})=\frac{3}{25}a^{2}\)。 報錯
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