某人使用單點透視法,以地平線上一點為消失點,將地平面上的六根鉛直柱子\(A\),\(B\),\(C\),\(D\),\(E\),\(F\)畫在坐標平面上,各柱柱頂與柱底的坐標如下表,並且讓點\(V(4,9)\)代表消失點,如圖所示。因圖形中\(A\)、\(F\)兩柱的柱底連線與柱頂連線均平行於地平線,故\(A\)、\(F\)兩柱的實際高度相等。根據上述,試選出實際高度最大的柱子。
答案
平面幾何圖形
04 – 114學測數學b試題11
設地球是一個球體。地球表面上五個點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)的經緯度如下表,例如\(A\)點位在經度\(0\)度,北緯\(60\)度。
大圓為通過球心的平面與球面相交所形成的圓,且球面上相異兩點在大圓上所形成較小的弧為最短路徑。根據上述,試選出正確的選項。(1) 「北極點到\(A\)的最短路徑長」等於「北極點到\(B\)的最短路徑長」；(2) 「\(A\)到\(B\)的最短路徑長」等於「\(C\)到\(D\)的最短路徑長」；(3) \(A\)到\(E\)的最短路徑必經過\(C\)；(4) \(C\)到\(D\)的最短路徑必經過北極點；(5) 「\(E\)到北極點的最短路徑長 」與「\(C\)到\(D\)的最短路徑長」的比為\(2：3\)
答案
1. 分析選項(1)：
北極點到 \( A \) 的緯度差為 \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)，北極點到 \( B \) 的緯度差也為 \( 30^\circ \)。球面上兩點沿大圓的最短距離與緯度差成正比，故兩者最短路徑長相等，選項(1)正確。
2. 分析選項(2)：
\( A \) 到 \( B \) 的經度差 \( 180^\circ \)，緯度 \( 60^\circ \)，其最短徑對應的圓心角需結合經緯度計算；\( C \) 到 \( D \) 經度差 \( 180^\circ \)，緯度 \( 30^\circ \)，兩者對應的大圓弧長不同（因緯度圈半徑不同），選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
\( A \)（北緯 \( 60^\circ \)，經度 \( 0^\circ \)）到 \( E \)（赤道，經度 \( 0^\circ \)）的最短路徑沿經度 \( 0^\circ \) 的大圓（子午線），會經過北緯 \( 30^\circ \) 的點，但不一定是 \( C \)（\( C \) 是北緯 \( 30^\circ \)、經度 \( 0^\circ \)，實際上會經過，此處需再驗證：經度相同的兩點最短徑沿子午線，故 \( A \) 到 \( E \) 必經過 \( C \)，選項(3)正確。
4. 分析選項(4)：
\( C \) 到 \( D \) 經度差 \( 180^\circ \)，緯度 \( 30^\circ \)，其最短徑是沿緯度 \( 30^\circ \) 的大圓（經度 \( 180^\circ \) 的大圓），經過北極點，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
\( E \) 到北極點的緯度差 \( 90^\circ \)，\( C \) 到 \( D \) 的最短徑對應的圓心角需計算：\( C \)（北緯 \( 30^\circ \)，經度 \( 0^\circ \)）與 \( D \)（北緯 \( 30^\circ \)，經度 \( 180^\circ \)）的大圓弧長對應圓心角為 \( 120^\circ \)（因緯度 \( 30^\circ \) 時，經度差 \( 180^\circ \) 的大圓弧心角為 \( 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ \)）。兩者弧長比為 \( 90^\circ: 120^\circ = 3:4 \)，非 \( 2:3 \)，選項(5)錯誤。
综上，正確選項為(1)(3)(4)。" 報錯
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04 – 114學測數學b試題16
教室的某牆角是由牆面和地面兩兩互相垂直所構成。設牆角為點\(O\),現有一個三角形擋板\(ABC\),其中頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)位在牆面間或牆面與地面間的交界線上,並與牆角\(O\)的距離分別為\(20\)、\(20\)、\(10\)公分；\(AB\)、\(BC\)、\(CA\)三邊與牆面或地面貼合,如圖所示。則\(\angle BAC = \underline{}\)（化為最簡根式）
答案
設
- \( A(20,0,0) \)、\( B(0,20,0) \)（在地面兩牆交線）
- \( C(0,0,10) \)（在牆上）
則
- \( \vec{AB} = (-20,20,0) \)
- \( \vec{AC} = (-20,0,10) \)
利用
\[
\tan\angle CAB = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}
\]
計算得：
- 叉積長度 \( = 200\sqrt{6} \)
- 點積 \( = 400 \)
故
\[
\tan\angle CAB = \frac{200\sqrt{6}}{400} = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
**答：** \( \dfrac{\sqrt{6}}{2} \) 報錯
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113學測數學B試題-06
聖誕樹燈飾相似三角形題”,”某大樓居民在大樓外牆展示聖誕樹造型燈飾，如圖所示，從五樓外牆某處\( P \)向四樓地板的兩端\( A,B \)拉小燈泡形成等腰三角形\( PAB \)，其中\( PA=PB \)；向三樓地板的兩端\( C,D \)拉小燈泡形成等腰三角形\( PCD \)；向二樓地板的兩端\( E,F \)拉小燈泡形成等腰三角形\( PEF \)。假設每層樓等高且樓地板長度相等，若五樓地板在三角形\( PAB \)內部所截出的線段長度為樓地板長度的\( \frac{1}{3} \)，則五樓地板在三角形\( PEF \)內部所截出的線段長度是樓地板長度的幾分之幾？（燈飾粗細可忽略不計）
(1) \( \frac{1}{7} \)
(2) \( \frac{1}{6} \)
(3) \( \frac{1}{5} \)
(4) \( \frac{1}{9} \)
(5) \( \frac{1}{4} \)
112學測數學B試題-03
地面上有甲、乙兩大樓,已知甲的高度大於乙,且甲、乙兩大樓的水平距離為 \(150\) 公尺。某人從甲樓頂拉一條繩索到乙樓頂,並從甲樓頂測得乙樓頂的俯角為 \(22^{\circ}\)。假設該繩索被拉成直線,試問繩索的長度（單位：公尺）最接近下列哪個選項？（註：眼睛往下看目標物時,視線與水平線間的夾角稱為俯角）(1) \(150\) (2) \(150\sin 22^{\circ}\) (3) \(150\cos 22^{\circ}\) (4) \(\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\) (5) \(\frac{150}{\sin 22^{\circ}}\)
[單選]
答案
設繩索長度為 \(l\),在由甲乙兩樓頂和水平距離構成的直角三角形中,水平距離為 \(150\) 公尺,俯角為 \(22^{\circ}\),繩索長度 \(l\) 與水平距離的關系為 \(\cos22^{\circ}=\frac{150}{l}\),則 \(l=\frac{150}{\cos 22^{\circ}}\)。答案：(4) 報錯
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112學測數學B試題-11
坐標平面上有一圓，其圓心為 \( A(a,b) \)，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點 \( P(c,c) \) 其中 \( a > c > 0 \)，且已知 \( \overline{PA} = a + c \)，試選出正確的選項。
(1) \( a = b \)
(2) 點 \( P \) 位於直線 \( x + y = 0 \) 上
(3) 點 \( P \) 在此圓內
(4) \( \frac{a + c}{b – c} = \sqrt{2} \)
(5) \( \frac{a}{c} = 2 + 3\sqrt{2} \)
答案
1. 分析選項(1)：
圓與兩坐標軸相切，圓心到x軸和y軸的距離相等且等於半徑，故 \( |a| = |b| = r \)。因 \( a > 0 \)，且圓與軸相切的位置可推得 \( b = a \)（若 \( b = -a \) 則圓在第四象限，與 \( a > c > 0 \) 及 \( P(c,c) \) 位置不符），故 \( a = b \)，選項(1)正確。
2. 分析選項(2)：
點 \( P(c,c) \) 滿足 \( x = y \)，即位於直線 \( x - y = 0 \) 上，而非 \( x + y = 0 \)，選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
圓的方程為 \( (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 \)。點 \( P(c,c) \) 到圓心 \( A(a,a) \) 的距離 \( \overline{PA} = \sqrt{(a - c)^2 + (a - c)^2} = \sqrt{2}(a - c) \)，已知 \( \overline{PA} = a + c \)，故 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，解得 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)。
點 \( P \) 到圓心的距離平方為 \( 2(a - c)^2 \)，圓半徑平方為 \( a^2 \)。
計算 \( 2(a - c)^2 - a^2 = 2a^2 - 4ac + 2c^2 - a^2 = a^2 - 4ac + 2c^2 \)，代入 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)：
\( (3 + 2\sqrt{2})^2c^2 - 4(3 + 2\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (17 + 12\sqrt{2})c^2 - (12 + 8\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (7 + 4\sqrt{2})c^2 > 0 \)，故點 \( P \) 在圓外，選項(3)錯誤。
4. 分析選項(4)：
由 \( a = b \)，且 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，則 \( b - c = a - c \)，\( \frac{a + c}{b - c} = \frac{a + c}{a - c} = \frac{\sqrt{2}(a - c)}{a - c} = \sqrt{2} \)，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
由 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，移項得 \( a(\sqrt{2} - 1) = c(\sqrt{2} + 1) \)，\( \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} \)，而非 \( 2 + 3\sqrt{2} \)，選項(5)錯誤。
综上，正確選項為(1)(4)。 報錯
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112學測數學B試題-16
正方形紙張上有一點\(P\),\(P\)點距離紙張左邊界\(6\)公分,距離下邊界\(8\)公分。今將紙張的左下角\(O\)點往內摺至\(P\)點,如圖所示。則摺進去的三角形面積是__________平方公分。
答案
1. 建立坐標系統：
設正方形左下角 \( O \) 為原點 \((0,0)\)，左邊界為 \( y \) 軸，下邊界為 \( x \) 軸，則點 \( P \) 坐標為 \((6,8)\)。
2. 分析摺疊性質：
摺疊後 \( O \) 與 \( P \) 重合，摺痕為線段 \( OP \) 的垂直平分線。設摺痕與 \( x \) 軸（下邊界）交於點 \( B \)，與 \( y \) 軸（左邊界）交於點 \( A \)，則 \( \triangle OAB \) 即為摺進去的三角形（直角三角形，\(\angle AOB = 90^\circ\)），且 \( OA = AP \)，\( OB = BP \)（對應點到摺痕距離相等）。
3. 計算 \( OA \) 和 \( OB \) 的長度：
- 設 \( OA = m \)（\( A \) 坐標為 \((0,m)\)），則 \( AP = m \)。由距離公式：\(\sqrt{(6-0)^2 + (8-m)^2} = m\)，平方後化簡：\(36 + 64 - 16m + m^2 = m^2 \implies 100 = 16m \implies m = \frac{25}{4}\)。
- 設 \( OB = n \)（\( B \) 坐標為 \((n,0)\)），則 \( BP = n \)。由距離公式：\(\sqrt{(6-n)^2 + (8-0)^2} = n\)，平方後化簡：\(36 - 12n + n^2 + 64 = n^2 \implies 100 = 12n \implies n = \frac{25}{3}\)。
4. 計算三角形面積：
\(\triangle OAB\) 面積為 \(\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \frac{25}{4} \times \frac{25}{3} = \frac{625}{24}\)。 報錯
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111學測數學B試題-14
坐標平面上有一個半徑為\(7\)的圓,其圓心為\(O\)點。已知圓上有\(A\), \(B\)兩點,且\(AB = 8\) ,則內積\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\underline{○14 – 1}\ \underline{○14 – 2}\) 。
[選填]
答案
在\(\triangle AOB\)中,\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert = 7\),\(\vert\overrightarrow{AB}\vert = 8\)。根據余弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{OB}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}}{2\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{7^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\times7\times7}=\frac{49 + 49 - 64}{98}=\frac{34}{98}=\frac{17}{49}\)。則\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos\angle AOB = 7\times7\times\frac{17}{49}=17\)。即\(\underline{○14 - 1}=17\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。 報錯
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111學測數學B試題-20
假設有塔高相等的兩座鐵塔,它們的傾斜度\(\alpha^{\circ}\),\(\beta^{\circ}\)分別滿足\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)與\(\sin\beta=\frac{1}{6}\)。已知兩座鐵塔的偏移距離相差\(20\)公尺,試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺。
[非選擇]
答案
1. 設塔高為\(h\),根據\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\),可得一座鐵塔偏移距離\(d_{1}=h\sin\alpha=\frac{1}{3}h\)；根據\(\sin\beta=\frac{1}{6}\),可得另一座鐵塔偏移距離\(d_{2}=h\sin\beta=\frac{1}{6}h\)。
2. 已知\(\vert d_{1}-d_{2}\vert = 20\),即\(\vert\frac{1}{3}h-\frac{1}{6}h\vert = 20\),\(\frac{1}{6}h = 20\),解得\(h = 120\)。
3. 塔頂到地面距離,一座為\(h\cos\alpha = h\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=120×\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}} = 120×\frac{2\sqrt{2}}{3}=80\sqrt{2}\),另一座為\(h\cos\beta = h\sqrt{1 - \sin^{2}\beta}=120×\sqrt{1 - (\frac{1}{6})^{2}} = 120×\frac{\sqrt{35}}{6}=20\sqrt{35}\)。
4. 它們塔頂到地面距離相差\(\vert80\sqrt{2}-20\sqrt{35}\vert\),計算\(80\sqrt{2}-20\sqrt{35}=20(4\sqrt{2}-\sqrt{35})\),\((4\sqrt{2})^{2}=32\),\((\sqrt{35})^{2}=35\),\(4\sqrt{2}<\sqrt{35}\),所以相差\(20(\sqrt{35}-4\sqrt{2})\)公尺。 報錯
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