〈平面與直線〉彙整頁面

102學測數學考科-20

如下圖,在坐標空間中,$A, B, C, D, E, F, G, H$ 為正立方體的八個頂點,已知其中四個點的坐標 $A(0, 0, 0)$、$B(6, 0, 0)$、$D(0, 6, 0)$ 及 $E(0, 0, 6)$,$P$ 在線段 $CG$ 上且 $CP : PG = 1 : 5$,$R$ 在線段 $EH$ 上且 $ER : RH = 1 : 1$,$Q$ 在線段 $AD$ 上。若空間中通過 $P, Q, R$ 這三點的平面,與直線 $AG$ 不相交,則 $Q$ 點的 $y$ 坐標為___________。

[選填]

答案

由題意畫得知 $ A(0, 0, 0) $、$ G(6, 6, 6) $、$ P(6, 6, 1) $、$ R(0, 3, 6) $
設 $ Q(0, k, 0) $

\[
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-6,\; k-6,\; -1)
\]
\[
\overrightarrow{PR} = R - P = (-6,\; -3,\; 5)
\]

平面 $ PQR $ 的法向量
\[
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}
\]
\[
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-6 & k-6 & -1 \\
-6 & -3 & 5
\end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i} \begin{vmatrix} k-6 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}
-\mathbf{j} \begin{vmatrix} -6 & -1 \\ -6 & 5 \end{vmatrix}
+\mathbf{k} \begin{vmatrix} -6 & k-6 \\ -6 & -3 \end{vmatrix}
\]
\[
= \mathbf{i}\big(5(k-6) - 3\big)
-\mathbf{j}\big((-6)\cdot5 - (-1)(-6)\big)
+\mathbf{k}\big((-6)(-3) - (k-6)(-6)\big)
\]
\[
= (5k - 30 - 3,\; -(-30 - 6),\; 18 + 6k - 36)
\]
\[
= (5k - 33,\; 36,\; 6k - 18)
\]

直線 $ AG $ 的方向向量 $\overrightarrow{v}$ 平行於 $\overrightarrow{AG} = (6, 6, 6)$，可取 $\overrightarrow{v} = (1, 1, 1)$

若平面 $ PQR $ 與直線 $ AG $ 不相交，則
\[
\overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{v} \quad\Rightarrow\quad \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{v} = 0
\]
\[
(5k - 33) \cdot 1 + 36 \cdot 1 + (6k - 18) \cdot 1 = 0
\]
\[
5k - 33 + 36 + 6k - 18 = 0
\]
\[
11k - 15 = 0
\]
\[
\therefore k = \frac{15}{11}
\]

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106學測數學考科–10

坐標空間中有三直線 $ L_1 : \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1} $，$ L_2 : \begin{cases} x-2y+2z=-4 \\ x+y-4z=5 \end{cases} $，$ L_3 : \begin{cases} x=-t \\ y=-2-t \\ z=4+4t \end{cases} $，t為實數。
請選出正確的選項。
(1) $ L_1$與$ L_2$的方向向量互相垂直
(2) $ L_1$與$ L_3$的方向向量互相垂直
(3)有一個平面同時包含$ L_1$與$ L_2$
(4)有一個平面同時包含$ L_1$與$ L_3$
(5)有一個平面同時包含$ L_2$與$ L_3$。

[多選題]

答案

$L_1$方向向量$\vec{v_1}=(2,2,1)$，$L_2$方向向量$\vec{v_2}=(2,2,1)$（與$L_1$平行），$L_3$方向向量$\vec{v_3}=(-1,-1,4)$。
(1) $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 9 \neq 0$，不垂直。
(2) $\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = 0$，垂直。
(3) $L_1$與$L_2$平行，可決定一平面。
(4) $L_1$與$L_3$交於一點，可決定一平面。
(5) $L_2$與$L_3$歪斜，無共同平面。
故選(2)(3)(4)。答案：(2)(3)(4)

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105學測數學考科–05

坐標空間中一質點自點$P(1,1,1)$沿著方向$a=(1,2,2)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$b=(-2,2,-1)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面$x=2$上？
(1)$1$秒
(2)$2$秒
(3)$3$秒
(4)$4$秒
(5)永遠不會到達。

[單選題]

答案

第一段：參數式 $ (1+t, 1+2t, 1+2t) $，代入平面 $ x-y+3z=28 $ 得 $ t=5 $，得點 $ Q(6,11,11) $。第二段：參數式 $ (6-2s, 11+2s, 11-s) $，代入 $ x=2 $ 得 $ s=2 $。因速率相同，時間比等於距離比，再經2秒。答案：(2)

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105學測數學考科–09

下列各直線中，請選出和z軸互為歪斜線的選項。
(1) $ L_1 : \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} $
(2) $ L_2 : \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 1 \end{cases} $
(3) $ L_3 : \begin{cases} z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases} $
(4) $ L_4 : \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} $
(5) $ L_5 : \begin{cases} y = 1 \\ z = 1 \end{cases} $。

[多選題]

答案

z軸：$ (0,0,t) $。
(1) $ L_1 $ 為y軸，與z軸交於原點。
(2) $ L_2 $ 與z軸交於(0,0,1)。
(3) $ L_3 $ 在平面z=0上，與z軸無交點且方向向量不平行，歪斜。
(4) $ L_4 $ 與z軸平行。
(5) $ L_5 $ 與z軸無交點且方向向量不平行，歪斜。故選(3)(5)。答案：(3)(5)

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107學測數學考科-11

坐標空間中，設直線 $ L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z}{-1} $，平面 $ E_1: 2x-3y-z=0 $，平面 $ E_2: x+y-z=0 $。試選出正確的選項：
(1)點 (3,0,-1) 在直線 $ L $ 上
(2)點 (1,2,3) 在平面 $ E_1 $ 上
(3)直線 $ L $ 與平面 $ E_1 $ 垂直
(4)直線 $ L $ 在平面 $ E_2 $ 上
(5)平面 $ E_1 $ 與 $ E_2 $ 交於一直線。

[多選題]

答案

(1) 代入 L：$ \frac{3-1}{2}=1 $，$ \frac{0-2}{-3}=\frac{2}{3} $，不等 ✗。
(2) 代入 E1：$ 2-6-3=-7 \neq 0 $ ✗。
(3) L 方方向向量 $ \vec{v}=(2,-3,-1) //E_1 法向量 \vec{n}_1=(2,-3,-1) $， ✓。
(4) 參數式 $ (1+2t, 2+3t, -t) $ 代入 E2：$ (1+2t)+(2+3t)-(-t)=3+6t=0 $ 無解，故 L 與 E2 平行 ✗。
(5) E1 與 E2 法向量不平行，故交於一直線 ✓。
故選(3)(5)。答案：(3)(5)

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113學測數學A考科_20

18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 $ P $ 在平面 $ E $ 上且 $ b = 0 $。試求 $ c $ 的最大可能範圍，並求線段 $ \overset{\rightharpoonup}{OP} $ 的最小可能長度。

[題組]

答案

由 $a-c=4$ 與 $a^2 \geq 3c^2$ 得 $(c+4)^2 \geq 3c^2 \Rightarrow c^2 - 4c - 8 \leq 0$，解得 $2-2\sqrt{3} \leq c \leq 2+2\sqrt{3}$。
又 $|\overset{\rightharpoonup}{OP}|^2 = 2c^2+8c+16 = 2(c+2)^2+8$，當 $c=2-2\sqrt{3}$ 時有最小值 $4\sqrt{3}-4$。

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114分科測驗數學甲試卷-02

空間中一正立方體 $ABCD-EFGH$，其中頂點 $A、B、C、D$ 在同一平面上，且 $\overline{AE}$ 為其中一個邊，如圖所示。下列選項中，試選出與平面 $BGH$ 以及平面 $CFE$ 皆垂直的平面？
(1)平面 $ADH$
(2)平面 $BCD$
(3)平面 $CDG$
(4)平面 $DFG$
(5)平面 $DFH$

[單選題]

答案

(1)
建立坐標系：
$ A(0,1,0), B(1,1,0), C(1,0,0), D(0,0,0) $
$ E(0,1,1), F(1,1,1), G(1,0,1), H(0,0,1) $
平面 $BGH$ 法向量：$\vec{n}_1 = (0,1,1)$
平面 $CFE$ 法向量：$\vec{n}_2 = (0,1,-1)$
平面 $ADH$ 法向量：$\vec{n} = (1,0,0)$ 與 $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ 皆垂直

試題內容
 試題內容
 選擇(填)題答案
 非選擇題評分原則

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111分科數學甲試題-03

坐標空間中$O$為原點，點$P$在第一卦限且$\overline{OP}=1$。已知直線$OP$與$x$軸有一夾角為$45^{\circ}$且$P$點到$y$軸的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$。試選出點$P$的$z$坐標。
(1)$\frac{1}{2}$
(2)$\frac{\sqrt{2}}{4}$
(3)$\frac{\sqrt{3}}{3}$
(4)$\frac{\sqrt{6}}{6}$
(5)$\frac{\sqrt{3}}{6}$

[單選]

答案

設$P(x,y,z)$ ，由$\overline{OP}=1$可得$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 。
直線$OP$與$x$軸夾角為$45^{\circ}$ ，根據向量夾角公式$\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{i}}{\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{i}\vert}$（$\overrightarrow{i}$為$x$軸正方向單位向量），則$\cos45^{\circ}=\frac{x}{\overline{OP}}$，即$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
又$P$點到$y$軸距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，即$\sqrt{x^{2}+z^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，把$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$代入可得$z=\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，答案為(4)。

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