微積分基本定理

1. 由牛頓-萊布尼茨公式，\(\int_{-3}^{1}f'(x)dx=f(1)-f(-3)\)；
2. 計算積分：\(\int(-x²-2x+3)dx=-\frac{1}{3}x³-x²+3x\)，代入上下限得\(\frac{32}{3}\)。答案：\(\frac{32}{3}\)

1. 設抽獎次數 \(X\)，\(P(X=k)=\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)（\(k=1,2,\dots\)）；
2. 期望值 \(E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)；
3. 由幾何分布期望值公式 \(E(X)=\frac{1}{p}=\frac{5}{2}\)。答案：\(\sum_{k=1}^{\infty}k\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{k-1}\cdot\frac{2}{5}\)，值為 \(\frac{5}{2}\)

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首先，根據微積分基本定理，速度\(v(t)=s'(t)=-t^{2}+6t\)。
對\(v(t)\)求導得\(v'(t)=-2t + 6\)。
令\(v'(t)=0\)，即\(-2t + 6 = 0\)，解得\(t = 3\)。
當\(v'(t)>0\)時，\(-2t + 6>0\)，解得\(t < 3\)，此時速度\(v(t)\)遞增； 當\(v'(t)<0\)時，\(-2t + 6<0\)，解得\(t>3\)，此時速度\(v(t)\)遞減。
所以\(a = 3\)，答案為(1)。

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計算 \(f(x)\) 與圓的交點，利用積分求面積，得面積為 \(\frac{1}{6}\)。### 圓的方程與取弧
圓 \(\Omega: x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=2\)，取下半圓弧：
\[ y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2} \]
### 面積計算
所求面積：
\[
\begin{align*}
2\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2-x^2}\right)-\frac{1}{2}x^2\right]dx
&= 2\left(\frac{3}{2}-\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx\right) \\
&= 2\left(\frac{3}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{6}\right) \\
&= \frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}
\end{align*}
\]
（備註：\(\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx=\frac{1}{6}\)）答案為 \(\frac{1}{6}\)。

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黎曼和：\(\sum_{k = 1}^{n}(20\frac{15(k - 1)}{n}+\frac{4}{9}(\frac{15(k - 1)}{n})^{2})\frac{15}{n}\)。定積分形式：\(V=\int_{0}^{15}(20x+\frac{4}{9}x^{2})dx\) 。計算定積分：\(\int_{0}^{15}(20x+\frac{4}{9}x^{2})dx=(10x^{2}+\frac{4}{27}x^{3})\big|_{0}^{15}=10\times15^{2}+\frac{4}{27}\times15^{3}=2250 + 500 = 2750\) ，所以積木體積為\(2750\) 。

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