〈應用題〉彙整頁面

102學測數學考科-16

阿德賣 100 公斤的香蕉,第一天每公斤賣 40 元；沒賣完的部份,第二天降價為每公斤 36 元；第三天再降為每公斤 32 元,到第三天全部賣完,三天所得共為 3720 元。假設阿德在第三天所賣香蕉的公斤數為 $t$,可算得第二天賣出香蕉的公斤數為 $at + b$,其中 $a = $__________,$b =$__________。

[選填]

答案

設第一天賣 $ x $ 公斤，第二天賣 $ y $ 公斤，第三天賣 $ t $ 公斤。

由題意得：
\[
\begin{cases}
x + y + t = 100 \quad \text{⋯①} \\
40x + 36y + 32t = 3720 \quad \text{⋯②}
\end{cases}
\]

將②式除以 4 得：
$ 10x + 9y + 8t = 930 $ ⋯②'

①×10 - ②' 得：
$ y + 2t = 70 \Rightarrow y = -2t + 70 $

故解為：
$ a = -2 $，$ b = 70 $

加最愛

106學測數學考科–01

已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為 $ r_1 $，而學生玩過的比率為 $ r_2 $，其中 $ r_1 \neq r_2 $。由下列選項中的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項：
(1)全校老師與學生比率
(2)全校老師人數
(3)全校學生人數
(4)全校師生人數
(5)全校師生玩過「寶可夢」人數。

[單選題]

答案

設全校老師人數 $ n_1 $、學生人數 $ n_2 $。全校玩過「寶可夢」的比率為 $ \frac{n_1 r_1 + n_2 r_2}{n_1+n_2} $，其中 $ \frac{n_1}{n_1+n_2} $、$ \frac{n_2}{n_1+n_2} $ 分別為全校老師與學生的比率。故選(1)。答案：(1)

加最愛

106學測數學考科–04

在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 $A, C$ 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 $B, D$ 前進，且在 1 秒後分別同時到達 $B, D$。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。

(1) 兩質點的距離固定不變
(2) 兩質點的距離越來越小
(3) 兩質點的距離越來越大
(4) 在 $\frac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最小
(5) 在 $\frac{1}{2}$ 秒時兩質點的距離最大。

[單選題]

答案

設 $t$ 秒時，質點位置 $P(1, t, 0)$、$Q(0, 1, t)$。距離 $PQ = \sqrt{1 + (t-1)^2 + t^2} = \sqrt{2t^2 - 2t + 2} = \sqrt{2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}}$。當 $t=\frac{1}{2}$ 時有最小值。故選(4)。答案：(4)

加最愛

106學測數學考科–07

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉麵、大油麵、咖喱飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：
(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次
(乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食
根據上述原則，小明這五天共有幾種不同的午餐計畫？
(1) 52
(2) 60
(3) 68
(4) 76
(5) 84。

[單選題]

答案

令R表飯，N表麵。分類討論：三N：NRNRN→12種；二N：ORNRNR→12種；RRNRN、RNRRN、NRNRN、NRNRR→32種；RRNRN→4種。總計12+12+32+4=60種。故選(2)。答案：(2)

加最愛

106學測數學考科–G

地面上甲、乙兩人從同一地點同時開始移動，甲以每秒4公尺向東等速移動，乙以每秒3公尺向北等速移動。在移動不久之後，他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了6秒後才又相見。此圓柱體建築物底圓的直徑為 __________ 公尺。

[選填題]

答案

設建築物直徑為$d$。甲向東速4 m/s，乙向北速3 m/s。相對速度方向為東偏北（斜率3/4）。視線被阻擋6秒，表示甲走了$6 \times 4 = 24$公尺。利用相似三角形，建築物直徑$d$與甲走的路程24公尺之比等於乙速與相對速度方向斜率對應的垂直分量之比？原解析圖示：兩個直角三角形相似，對應邊成比例：$\frac{d}{24} = \frac{3}{5} \Rightarrow d = \frac{72}{5} = 14.4$。答案：14.4

加最愛

105學測數學考科–05

坐標空間中一質點自點$P(1,1,1)$沿著方向$a=(1,2,2)$等速直線前進，經過$5$秒後剛好到達平面$x-y+3z=28$上，立即轉向沿著方向$b=(-2,2,-1)$依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面$x=2$上？
(1)$1$秒
(2)$2$秒
(3)$3$秒
(4)$4$秒
(5)永遠不會到達。

[單選題]

答案

第一段：參數式 $ (1+t, 1+2t, 1+2t) $，代入平面 $ x-y+3z=28 $ 得 $ t=5 $，得點 $ Q(6,11,11) $。第二段：參數式 $ (6-2s, 11+2s, 11-s) $，代入 $ x=2 $ 得 $ s=2 $。因速率相同，時間比等於距離比，再經2秒。答案：(2)

加最愛

105學測數學考科–08

下面是甲、乙兩個商場的奇異果以及蘋果不同包裝的價格表，例如：甲商場奇異果價格「35元／一袋2顆」表示每一袋有2顆奇異果，價格35元。

依據上述數據，請選出正確的選項。
(1)在甲商場買一袋3顆裝的蘋果所需金額低於買三袋1顆裝的蘋果
(2)乙商場的奇異果售價，一袋裝最多顆者，其每顆單價愈低
(3)若只想買奇異果，則在甲商場花500元最多可以買到30顆奇異果
(4)如果要買12顆奇異果和4顆蘋果，在甲商場所需最少金額低於在乙商場所需最少金額
(5)無論要買多少顆蘋果，在甲商場所需最少金額都低於在乙商場所需最少金額。

[多選題]

答案

計算單價：甲奇異果：20, 17.5, 16, 16.7；乙奇異果：18, 16.7, 16.25, 15.83。
(1)甲蘋果3顆裝130元，3袋1顆裝135元，正確。
(2)乙奇異果單價隨數量增加而遞減，正確。
(3)甲：買6袋5顆裝+1袋1顆裝=500元，得31顆，錯誤。
(4)甲最少370元，乙最少380元，正確。
(5)反例：買40顆蘋果時甲需1700元，乙需1680元，錯誤。故選(1)(2)(4)。答案：(1)(2)(4)

加最愛

108學測數學考科-08

在數線上，甲從點-8開始做等速運動，同時乙也從點10開始做等速運動，乙移動的速率是甲的$a$倍，且$a \gt 1$。試選出正確的選項。
(1)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們會相遇
(2)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們不會相遇
(3)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則乙先到達原點0
(4)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們之間的距離會越來越大
(5)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們在點-2相遇，則$a=2$。

[多選題]

答案

(1) 反向而行不相遇。
(2) 乙速快，向右會追上甲。
(3) 不一定，需計算時間。
(4) 乙速快，向右則距離增加。
(5) 甲走6單位，乙走12單位，時間相同，故$a=12/6=2$。
故選(1)(4)(5)。答案：(4)(5)

加最愛

108學測數學考科-C

某高中已有一個長90公尺，寬60公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為400公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各垂直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖），則圖中一條直線跑道 $AB$ 長度的最大可能整數值為 __________ 公尺。

[選填題]

答案

設半圓半徑為$r$，則內圈周長：$2\pi r + 2AB = 400 \Rightarrow AB = 200 - \pi r$。為使AB最大，r取最小值，但需包住足球場寬60公尺，故$r \geq 30$。當$r=30$時，$AB = 200 - 30\pi \approx 200 - 94.2 = 105.8$，最大整數值為105。答案：105

加最愛

109學測數學考科-A

網路賣家以 200 元的成本取得某件模型，並以成本的 5 倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為 __________ 元。

[選填題]

答案

初始售價1000元，利潤800元。調降三次後利潤為 $800 \times (\frac{1}{2})^3 = 100$ 元，售價為 $200 + 100 = 300$ 元。答案：300

加最愛

Saved articles