坐標平面上，x 坐標與 y 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 \(y=\log_2 x\)、x 軸與直線 \(x=61\) 所圍有界區域的內部 (不含邊界) 共有多少個格子點？
(1) 88 (2) 89 (3) 90 (4) 91 (5) 92
指數運算
114學測數學A考科_08
考慮坐標平面上滿足方程式 \(\frac{2^x}{8} = \frac{4^x}{2^y}\) 的點 \(P(x, y)\)，試選出正確的選項。
(1)當 \(x=3\) 時，滿足此方程式的解有相異 2 個
(2)若點 \((a, b)\) 滿足此方程式，則點 \((-a, -b)\) 也滿足此方程式
(3)所有可能的點 \(P(x, y)\) 構成的圖形為一個圓
(4)點 \(P(x, y)\) 可能在直線 \(x+y=4\) 上
(5)對於所有可能的點 \(P(x, y)\)，其 \(x-y\) 的最大值為 \(1+2\sqrt{2}\)
答案
113學測數學A考科_07
今坐標平面上滿足 \(y = \log x\) 的點 \((x, y)\) 所成圖形為 \(\Gamma\)，試問滿足下列哪些關係式的 \((x, y)\) 所成圖形與 \(\Gamma\) 完全相同？
(1) \(y + \frac{1}{2} = \log (5x)\)
(2) \(2y = \log (x^2)\)
(3) \(3y = \log (x^3)\)
(4) \(x = 10^y\)
(5) \(x^3 = 10^{(y^3)}\)
答案
105指考數學乙試題-06
設 \( a = 10^{1 – \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} \)。請選出正確的選項。
(1) \( 1 \lt a \)
(2) \( a \lt \sqrt{3} \)
(3) \( a^2 \lt b^{\sqrt{3}} \)
(4) \( 10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5} \)
(5) \((ab)^{\sqrt{2}} \lt 10\)
答案
\( a = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \)，\( b = a^{\sqrt{2}} = 10^{\sqrt{2} - 1} \)。
(1) \(1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 - 0.707 = 0.293 \gt 0\)，所以 \(a \gt 10^0 = 1\)，正確。
(2) \(a = 10^{0.293} \approx 1.96\)，\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，所以 \(a \gt \sqrt{3}\)，錯誤。
(3) \(a^2 = 10^{2 - \sqrt{2}} \approx 10^{0.586}\)，\(b^{\sqrt{3}} = 10^{(\sqrt{2}-1)\sqrt{3}} = 10^{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \approx 10^{2.449 - 1.732} = 10^{0.717}\)，所以 \(a^2 \lt b^{\sqrt{3}}\)，正確。
(4) \(b = 10^{\sqrt{2}-1} \approx 10^{0.414}\)，\(10^{0.4} \lt b \lt 10^{0.5}\) 成立，正確。
(5) \(ab = 10^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} - 1} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)，\((ab)^{\sqrt{2}} = 10^{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = 10^1 = 10\)，所以等於10，錯誤。
答案為 (1)(3)(4)。 報錯
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106指考數學乙試題-06
坐標平面上，\(\Gamma_1\) 為 \(y = \log_2 x\) 的圖形，\(\Gamma_2\) 為 \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) 的圖形。下列關於 \(\Gamma_1\) 與 \(\Gamma_2\) 的敘述，試選出正確的選項。
(1) \(\Gamma_1\) 的圖形凹口向下
(2) \(\Gamma_2\) 的圖形凹口向下
(3) \(\Gamma_1\) 的圖形均在 \(x\) 軸的上方
(4) \(\Gamma_2\) 的圖形均在 \(y\) 軸的右方
(5) \(\Gamma_1\) 與 \(\Gamma_2\) 恰交於一點
答案
\(\Gamma_1: y=\log_2 x\)，\(\Gamma_2: y=\log_{1/2} x = -\log_2 x\)。
(1) \(\Gamma_1\) 的二階導數 \(y'' = -\frac{1}{x^2\ln 2} \lt 0\)，所以凹口向下，正確。
(2) \(\Gamma_2\) 的二階導數 \(y'' = \frac{1}{x^2\ln 2} \gt 0\)，凹口向上，錯誤。
(3) \(\Gamma_1\) 當 \(0 \lt x \lt 1\) 時 y<0，錯誤。
(4) \(\Gamma_2\) 定義域 x>0，所以在 y 軸右方，正確。
(5) 解 \(\log_2 x = -\log_2 x \) ⇒ \(2\log_2 x = 0 \) ⇒ \(x=1\)，交點 (1,0)，正確。
答案為 (1)(4)(5)。 報錯
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109指考數學乙(補考)試題-3)
一、(3) 已知「六人國」現在的人口數很接近 \( 10^n \)（其中 \( n \) 為正整數），試求正整數 \( n \) 的值。
[非選擇題]
答案
初始6人，經過200年，人口數 = \( 6\times(\frac{17}{16})^{200} \)
取對數：\( \log[6\times(\frac{17}{16})^{200}] = \log 6 + 200\log\frac{17}{16} \)
\( \log 6=\log 2+\log 3=0.3010+0.4771=0.7781 \)
\( \log\frac{17}{16}=\log 17-\log 16=1.2296-1.2040=0.0256 \)
總和 = \( 0.7781+200\times0.0256=0.7781+5.12=5.8981 \)
故 \( n=5 \)
答案：5 報錯
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109指考數學乙試題-2)
一、(2) 已知某傳染病初期符合上述數學模型且每隔16天總感染人數會增加為10倍，試求 \( \frac{P_{20} \times P_5 \times P_8}{P_{17} \times P_6 \times P_2} \) 的值。
[非選擇題]
答案
114分科測驗數學甲試卷-06
設指數函數 \(f(x)=1.2^x\)。試選出正確的選項？
(1) \(f(0)\gt0\)
(2) \(f(10)\gt10\)
(3) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 的圖形與直線 \(y=x\) 相交
(4) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 與 \(y=\log(1.2^x)\) 的圖形對稱於直線 \(y=x\)
(5) 對任意正實數 \(b,\log_{1.2}b \neq1.2^b\)
答案
105指考數學甲試題-01
請問下列選項中哪一個數值 \(a\) 會使得 \(x\) 的方程式 \(\log a-\log x=\log (a – x)\) 有兩相異實數解?
(1)\(a = 1\)
(2)\(a = 2\)
(3)\(a = 3\)
(4)\(a = 4\)
(5)\(a = 5\)
答案
由\(\log a-\log x=\log (a - x)\)，根據對數運算法則可得\(\log\frac{a}{x}=\log (a - x)\)，則\(\frac{a}{x}=a - x\)（\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)），整理得\(x^{2}-ax + a = 0\)。
此方程有兩相異實數解，則判別式\(\Delta = a^{2}-4a\gt0\)，解得\(a\lt0\)或\(a\gt4\)。
又因為\(x\gt0\)，\(a - x\gt0\)，即\(x\lt a\)，且\(x\)是\(x^{2}-ax + a = 0\)的根，由韋達定理\(x_1 + x_2 = a\)，\(x_1x_2 = a\)，所以\(a\gt0\)。
綜上，\(a\gt4\)，只有\(a = 5\)滿足條件。
答案為(5)。 報錯
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106指考數學甲試題-02
設\(a = \sqrt[3]{10}\)。關於\(a^{5}\)的範圍，試選出正確的選項。
(1)\(25\leq a^{5}\lt30\)
(2)\(30\leq a^{5}\lt35\)
(3)\(35\leq a^{5}\lt40\)
(4)\(40\leq a^{5}\lt45\)
(5)\(45\leq a^{5}\lt50\)
答案
