指數運算

已知\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)在\(y=\log _{2}x\)上，所以\(b=\log _{2}a\)，\(d=\log _{2}c\)。
因為\(\overline{PQ}\)的中點在\(x\)軸上，中點坐標為\((\frac{a + c}{2},\frac{b + d}{2})\)，所以\(b + d = 0\)，即\(\log _{2}a+\log _{2}c = 0\)。
根據對數運算法則\(\log _{2}a+\log _{2}c=\log _{2}(ac)=0\)，可得\(ac = 1\)，(3)正確。
\(b + d = 0\)，即\(b=-d\)，所以\(bd=-b^{2}\lt0\)，又因為\(b\neq0\)（若\(b = 0\)，則\(a = 1\)，此時只有一個交點），所以\(bd=-1\)，(2)正確。
設直線\(L\)的斜率為\(k\)，\(k=\frac{d - b}{c - a}=\frac{-2b}{c - a}\)，由於\(ac = 1\)，不妨設\(a=\frac{1}{t}\)，\(c = t\)（\(t\gt0\)且\(t\neq1\)），\(b=\log _{2}\frac{1}{t}=-\log _{2}t\)，\(d=\log _{2}t\)，\(k=\frac{2\log _{2}t}{t-\frac{1}{t}}\)，當\(t\gt1\)時，\(k\gt0\)；當\(0\lt t\lt1\)时，\(k\lt0\)，(1)錯誤。
设直线\(L\)的方程为\(y=mx + n\)，将\(P(a,b)\)，\(Q(c,d)\)代入可得\(\begin{cases}b = ma + n\\d = mc + n\end{cases}\)，两式相减得\(b - d=m(a - c)，m=\frac{b - d}{a - c}\)，再将\(b=-d\)代入得\(m=\frac{-2d}{a - c}\)。把\(d=\log _{2}c\)，\(a=\frac{1}{c}\)代入得\(m=\frac{-2\log _{2}c}{\frac{1}{c}-c}\)。
令\(x = 0\)，\(y=n\)，\(n=b - ma=\log _{2}a-\frac{-2\log _{2}c}{\frac{1}{c}-c}\times a\)，当\(a\)，\(c\)取值不同时，\(n\)不一定大于\(1\)，(4)错误。
令\(y = 0\)，\(0=mx + n\)，\(x=-\frac{n}{m}\)，同样当\(a\)，\(c\)取值不同时，\(x\)不一定大于\(1\)，(5)错误。
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已知\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，則\(\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\)。
因為\(2^{2^{13}}=2^{2^{12}\times2}=(2^{2^{12}})^2\)，當\(x\)很大時，\(\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\approx\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}=2^{2^{13}-2^{12}}=2^{2^{12}(2 - 1)}=2^{2^{12}}\)。
設\(N = 2^{2^{12}}\)，對其取常用對數\(\log N=\log(2^{2^{12}})=2^{12}\log 2\)。
\(2^{12}=4096\)，\(\log N = 4096\times0.3010\approx1233\)。
根據數的位數公式，若\(\log N = n + d\)（\(n\)為整數，\(0\leq d<1\)），則\(N\)的位數是\(n + 1\)，所以\(2^{2^{12}}\)的位數約為\(1233 + 1 = 1234\)，最接近1200。 答案為(5)。 報錯
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已知\(A(a,\log _{2}a)\)，\(B(b,\log _{2}b)\)，根據斜率公式\(k=\frac{\log _{2}b-\log _{2}a}{b - a}=2\)，即\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)。
由距離公式\(\sqrt{(b - a)^{2}+(\log _{2}b-\log _{2}a)^{2}}=\sqrt{5}\)，把\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)代入得\(\sqrt{(b - a)^{2}+4(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)。
即\(\sqrt{5(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)，\((b - a)^{2}=1\)，又\(a\lt b\)，所以\(b - a = 1\)，即\(b=a + 1\)。
將\(b=a + 1\)代入\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)，得\(\log _{2}\frac{a + 1}{a}=2\)，即\(\frac{a + 1}{a}=4\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)。
所以\((a, b)=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})\) 。 報錯
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由換底公式\(\log _{4}(25 - y^{2})=\frac{\log _{2}(25 - y^{2})}{\log _{2}4}=\frac{1}{2}\log _{2}(25 - y^{2})\)。
原方程\(\log _{2}(x - 1)=\log _{4}(25 - y^{2})\)可化為\(2\log _{2}(x - 1)=\log _{2}(25 - y^{2})\)，即\(\log _{2}(x - 1)^{2}=\log _{2}(25 - y^{2})\)。
所以\((x - 1)^{2}=25 - y^{2}\)，整理得\((x - 1)^{2}+y^{2}=25\)。
因為\(x,y\)是整數，且\((x - 1)^{2}\geq0\)，\(y^{2}\geq0\)，所以有：
當\((x - 1)^{2}=0\)時，\(y^{2}=25\)，即\(x = 1\)，\(y=\pm5\)；
当\((x - 1)^{2}=1\)时，\(y^{2}=24\)（\(y\)不是整数，舍去）；
当\((x - 1)^{2}=4\)时，\(y^{2}=21\)（\(y\)不是整数，舍去）；
当\((x - 1)^{2}=9\)时，\(y^{2}=16\)，即\(x = 4\)或\(x=-2\)，\(y=\pm4\)；
当\((x - 1)^{2}=16\)时，\(y^{2}=9\)，即\(x = 5\)或\(x=-3\)，\(y=\pm3\)；
当\((x - 1)^{2}=25\)时，\(y^{2}=0\)，即\(x = 6\)或\(x=-4\)，\(y = 0\)。
综上，满足方程的格子点有\((1,5),(1, - 5),(4,4),(4, - 4),(-2,4),(-2, - 4),(5,3),(5, - 3),(-3,3),(-3, - 3),(6,0),(-4,0)\)，共12个，答案为(5)。 報錯
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(1)因為\(2^{a},2^{b},2^{c}\)成等差數列，所以\(2\times2^{b}=2^{a}+2^{c}\)，即\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\) ，不能推出\(b^{2}=ac\)，所以\(a,b,c\)不一定成等比數列，(1)錯誤。
(2)若\(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)成等差數列，則\(2(2b + 100)=(2a + 100)+(2c + 100)\)，化簡得\(2b=a + c\) 。由\(2^{a},2^{b},2^{c}\)成等差得\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，根據均值不等式\(2^{a}+2^{c}>2\sqrt{2^{a}\times2^{c}} = 2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，即\(2^{b + 1}>2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，可得\(b + 1>\frac{a + c}{2}\)，又\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，移項可得\(2\times2^{b}-2^{a}-2^{c}=0\)，假設\(a=m + d\)，\(b=m\)，\(c=m - d\)（\(d>0\)）代入\(2\times2^{b}-2^{a}-2^{c}=0\)得\(2\times2^{m}-2^{m + d}-2^{m - d}=0\)，化簡得\(2 - 2^{d}-2^{-d}=0\)，令\(t = 2^{d}(t>1)\)，\(2 - t-\frac{1}{t}=0\)，\(2t - t^{2}-1 = 0\)，\(t^{2}-2t + 1 = 0\)，\((t - 1)^{2}=0\)，\(t = 1\)矛盾，所以\(2b=a + c\)，即\(2a + 100,2b + 100,2c + 100\)成等差數列，(2)正確。
(3)若\(4^{a},4^{b},4^{c}\)成等差數列，則\(2\times4^{b}=4^{a}+4^{c}\)，即\(2\times2^{2b}=2^{2a}+2^{2c}\)，由\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)平方得\(2^{2b + 2}=2^{2a}+2\times2^{a + c}+2^{2c}\)，與\(2\times2^{2b}=2^{2a}+2^{2c}\)不同，所以\(4^{a},4^{b},4^{c}\)不成等差數列，(3)錯誤。
(4)由\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，根據均值不等式\(2^{a}+2^{c}>2\sqrt{2^{a}\times2^{c}} = 2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，可得\(2^{b + 1}>2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，即\(b + 1>\frac{a + c}{2}\)，又\(a>b>c\)，所以\(a - b>0\)，\(2^{b + 1}-2^{a}-2^{c}=0\)，\(2^{b + 1}-2^{a}=2^{c}>0\)，\(2^{b + 1}>2^{a}\)，\(b + 1>a\)不恆成立，比如\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = 1\)時不滿足，(4)錯誤。
(5)由\(2^{b + 1}=2^{a}+2^{c}\)，根據均值不等式\(2^{a}+2^{c}\geq2\sqrt{2^{a}\times2^{c}} = 2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，即\(2^{b + 1}\geq2\times2^{\frac{a + c}{2}}\)，可得\(b + 1\geq\frac{a + c}{2}\)，移項得\(b\geq\frac{a + c}{2}-1\)，不一定有\(b \geq \frac{a + c}{2}\)，(5)錯誤。答案為(2)。 報錯
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