坐標空間中有四點 \(A(2,0,0)\)、\(B(3,4,2)\)、\(C(-2,4,0)\) 與 \(D(-1,3,1)\)。若點 \(P\) 在直線 \(CD\) 上變動,則內積 \(\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}\) 之最小可能值為___________。
[選填]設直線 \( CD \) 的參數式為：
\[
\begin{cases}
x = -2 + t \\
y = 4 - t, \quad t \in \mathbb{R} \\
z = t
\end{cases}
\]
點 \( P \) 在 \( CD \) 上，可設 \( P(-2 + t,\; 4 - t,\; t) \)。
已知 \( A(2, 0, 0) \)、\( B(3, 4, 2) \)，則
\[
\overrightarrow{PA} = A - P = \big( 2 - (-2 + t),\; 0 - (4 - t),\; 0 - t \big) = (4 - t,\; -4 + t,\; -t),
\]
\[
\overrightarrow{PB} = B - P = \big( 3 - (-2 + t),\; 4 - (4 - t),\; 2 - t \big) = (5 - t,\; t,\; 2 - t).
\]
計算內積：
\[
\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}
= (4 - t)(5 - t) + (-4 + t)t + (-t)(2 - t).
\]
逐項展開：
\[
(4 - t)(5 - t) = 20 - 9t + t^2,
\]
\[
(-4 + t)t = -4t + t^2,
\]
\[
(-t)(2 - t) = -2t + t^2.
\]
相加得：
\[
\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}
= (20 - 9t + t^2) + (-4t + t^2) + (-2t + t^2)
= 20 - 15t + 3t^2.
\]
配方：
\[
3t^2 - 15t + 20 = 3\left( t^2 - 5t \right) + 20
= 3\left[ t^2 - 5t + \left( \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right] + 20
\]
\[
= 3\left[ \left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right] + 20
= 3\left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{75}{4} + 20
\]
\[
= 3\left( t - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}.
\]
當 \( t = \dfrac{5}{2} \) 時，\( \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \) 有最小值 \( \dfrac{5}{4} \)。