根號運算

將 \(\sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\) 化簡為 \(\sqrt{(4 + \sqrt{7})^2} = 4 + \sqrt{7}\)，故 \(a = 5\)（因 \(4 + \sqrt{7} \approx 6.645\)，整數部分5），\(b = 4 + \sqrt{7} - 5 = \sqrt{7} - 1\)。代入得 \(a + 3b = 5 + 3(\sqrt{7} - 1) = 2 + 3\sqrt{7}\)？修正：原簡解得 \(a=6\)，\(b=\sqrt{7}-6\)，\(a+3b=6+3\sqrt{7}-18=3\sqrt{7}-12\)？實際正解：\(\sqrt{23+8\sqrt{7}}=4+\sqrt{7}\approx6.645\)，故 \(a=6\)，\(b=4+\sqrt{7}-6=\sqrt{7}-2\)，\(a+3b=6+3\sqrt{7}-6=3\sqrt{7}\)，\(\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)。答案：\((5)\)

• 一站直達

首先計算根號內的部分：
- \(\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0.04\)
- \(\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \approx 0.0625\)
- 將三者相加：\(0.04 + 0.0625 + 1 = 1.1025\)
接著計算根號：\(\sqrt{1.1025} = 1.05\)。因此,正確答案是 (2) 1.05。

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(1) ∵ \( 3.5^2 = 12.25 < 13 \)，∴ \( \sqrt{13} > 3.5 \)。

(2) ∵ \( 3.6^2 = 12.96 < 13 \)，∴ \( \sqrt{13} > 3.6 \)。

(3) ∵ \( (\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = 13 + 2\sqrt{30} > 13 \)，
∴ \( \sqrt{3} + \sqrt{10} > \sqrt{13} \)，即 \( \sqrt{13} - \sqrt{3} < \sqrt{10} \)。 (4) ∵ \( (\sqrt{13} + \sqrt{3})^2 = 16 + 2\sqrt{39} > 16 \)，
∴ \( \sqrt{13} + \sqrt{3} > \sqrt{16} = 4 \)。

(5) \( \dfrac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{13} + \sqrt{3}}{10} < \dfrac{3.7 + 1.8}{10} = \dfrac{6}{10} = 0.6 \)。 故選 (1)(4)。

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