機率的定義與計算

正六邊形邊長1，頂點共6個，選兩點得 \(C_6^2 = 15\) 條線段，長為2的有3條（對角線），機率 \(\frac{3}{15} = \frac{1}{5}\)（(3)正確）。\(\triangle ACE\) 為正三角形，邊長 \(\sqrt{3}\)，面積 \(\frac{\sqrt{3}}{4}\times(\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\)（(4)正確）。(1) \(C\) 點坐標 \((\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\)；(2) 對角線長 \(\sqrt{3}\) 有6條；(5)期望值計算錯。答案：\((3)(4)\)

• 一站直達

總方法數：\(4^4=256\)。
回到原點需上下左右次數相等，或兩兩成對抵消。
分類：
(1) 上、下、左、右各1次：排列數\(4! = 24\)。
(2) 上、上、下、下：排列數\(\frac{4!}{2!2!}=6\)。
(3) 左、左、右、右：排列數\(\frac{4!}{2!2!}=6\)。
總共\(24+6+6=36\)種。
機率=\(\frac{36}{256} = \frac{9}{64}\)。答案：\(\frac{9}{64}\)

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計算各機率：
\( P(A抽甲)=\frac{1}{4} \)，\( P(C抽甲)=\frac{3}{4}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8} \)，(1)錯誤。
\( P(D抽甲)=\frac{3}{8} \)，(2)錯誤。
\( P(A抽乙)=\frac{1}{4} \)，\( P(B抽乙)=\frac{1}{3} \)，(3)錯誤。
\( P(B抽丙)=\frac{1}{3} \)，\( P(C抽丙)=\frac{5}{24} \)，(4)正確。
\( P(C抽甲)=\frac{3}{8} \)，\( P(C抽乙)=\frac{5}{24} \)，(5)正確。故選(4)(5)。答案：(4)(5)

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答對一題機率 \( \frac{1}{5} \)，十題全對機率 \( \left( \frac{1}{5} \right)^{10} = 5^{-10} \)。取對數：\( \log(5^{-10}) = -10 \log 5 \approx -10 \times 0.6990 = -6.99 \)，故約為 \( 10^{-7} \)。答案：(3)

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總方法數：\( C^7_2 \times C^7_2 = 21 \times 21 = 441 \)。反面算：兩人休假完全不同的天數：\( C^7_2 \times C^5_2 = 21 \times 10 = 210 \)，機率 \( \frac{210}{441} = \frac{10}{21} \)。故至少一天相同機率為 \( 1 - \frac{10}{21} = \frac{11}{21} \)。答案：(5)

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行列式 \( ac - b^2 > 0 \Rightarrow ac > b^2 \)。b為奇數可能值1,3,5。列出所有滿足 \(ac > b^2\) 的(a,c)組合數，總共57組。b為奇數的總情況數為 \(6\times3\times6=108\)。機率 \(=\frac{57}{108}=\frac{19}{36}\)。答案：\( \frac{19}{36} \)

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總數\(C^7_2=21\)。
(1) 和大於10：\((4,7),(5,6),(5,7),(6,7)\)共4種，機率\(4/21\)。
(2) 和小於5：\((1,2),(1,3)\)共2種，機率\(2/21\)。
(3) 和為奇數：一奇一偶，\(C^4_1 C^3_1=12\)，機率\(12/21=4/7\)。
(4) 差為偶數：同奇同偶，\(C^4_2+C^3_2=6+3=9\)，機率\(9/21=3/7\)。
(5) 積為奇數：兩奇數，\(C^4_2=6\)，機率\(6/21=2/7\)。
故選(3)(5)。答案：(3)(5)

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(1) \(280/500=56\% \lt 60\%\)。
(2) 機率為\(C^{220}_2 / C^{500}_2 \approx (220/500)^2 \lt 0.25\)。
(3) 正確，抽兩人一為一年內、一為一年前，機率為\(\frac{C^1_{45} C^1_{75}}{C^2_{120}} = \frac{45 \times 75}{120 \times 119}\)。
(4) 未曾篩檢比率為\((500-120)/500=76\% \gt 75\%\)。
(5) 設60歲以上篩檢x人，則\(x/280 = 3.5 \times (120-x)/220\)，解得\(x=98 \gt 90\)。
故選(3)(5)。答案：(3)(5)

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\(\log(a^2) + \log b \gt 1 \Rightarrow \log(a^2b) \gt \log 10 \Rightarrow a^2b \gt 10\)，列舉所有可能結果共36種，滿足 \(a^2b \gt 10\) 的有27種，機率為 \(\frac{27}{36} = \frac{3}{4}\)，故選(4)。

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列舉第三顆骰子點數：1→僅(A), 2→僅(B), 3→僅(A), 4→皆不符, 5→皆符合, 6→皆不符。故選(1)(2)。

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