有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的機率各為 \(\frac{1}{2}\)；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為 \(\frac{1}{3}\)，不同色的機率為 \(\frac{2}{3}\)。今末再投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為 __________。（化為最簡分數）
[選填題]
答案
機率的定義與計算
110學測數學考科_07
心理學家找了1000位受試者進行暗室實驗，每位受試者都要觀看及辨識6、8、9三張數字卡，發現將實際數字看成某個數字的機率如下表：
| 實際數字 | 看成數字 | 6 | 8 | 9 | 其他 |
| 6 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 | |
| 8 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.2 | |
| 9 | 0.2 | 0.2 | 0.5 | 0.1 |
例如：實際數字6被看成6、8、9的機率分別為0.4、0.3、0.2，而被看成其他數字的機率是0.1。根據上述實驗結果，試選出正確的選項。
(1)如果實際數字是8，則至少有一半的可能性會被看成是8
(2)如果實際數字是6，則有六成的可能性會被看成不是6
(3)在6、8、9三數字中，被誤認的可能性以9最低
(4)如果被看成數字是6，則實際上就是6的可能性不到一半
(5)如果被看成數字是9，則實際上就是9的可能性超過 \(\frac{2}{3}\)
答案
110學測數學考科_12
設 \( P(X) \) 表示事件 X 發生的機率，而 \( P(X|Y) \) 表示在事件 Y 發生的條件下，事件 X 發生的機率。今有 2 顆黑球、2 顆白球、3 顆紅球共 7 顆大小相同的球排成一列。設事件 A 為 2 顆黑球相鄰的事件，事件 B 為 2 顆黑球不相鄰的事件，而事件 C 為任 2 顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。
(1) \( P(A) > P(B) \)
(2) \( P(C) = \frac{2}{7} \)
(3) \( 2P(C|A) + 5P(C|B) < 2 \)
(4) \( P(C|A) > 0.2 \)
(5) \( P(C|B) > 0.3 \)
答案
總排列數 7!。
(1)錯誤：P(A)= (6!×2!)/7! = 2/7, P(B)=1-2/7=5/7, 故 P(A)
(3)錯誤：由全機率公式 P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) ⇒ (2/7)P(C|A)+(5/7)P(C|B)=2/7 ⇒ 2P(C|A)+5P(C|B)=2。
(4)錯誤：P(C|A)= n(C∩A)/n(A) = [3!×2!×C(5,3)×3!] / (6!×2!) = 1/5 = 0.2。
(5)正確：代入(3)式，2×(1/5)+5P(C|B)=2 ⇒ P(C|B)=8/25=0.32>0.3。(2)(5)
110學測數學考科_C
從 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) 這九個數中任意取出三個相異的數，每數被取出的機率皆相等，則三數乘積是一完全平方數的機率為 \(\underline{\qquad\qquad}\)。（化成最簡分數）
[選填題]
答案
111學測數學A考科-05
已知某地區有 30 % 的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 80 %，將未染病者判為陰性的機率則為 60 %。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為 P；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為 P’。試問 \( \frac{P}{P’} \) 最接近哪一選項？
(1) 7
(2) 8
(3) 9
(4) 10
(5) 11
答案
114學測數學A考科_01
114學測數學A考科_15
假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價 480 元的可愛玩偶最低只要 240 元」。規則為：顧客投擲一枚均勻硬幣至多 5 次，前 3 次連續擲得 3 個正面者則只能以 240 元購得一個玩偶，擲到第 4 次才累積得 3 個正面者則只能以 320 元購得一個，擲到第 5 次才累積得 3 個正面者則只能以 400 元購得一個；5 次投完仍未累積 3 個正面者則只能以 480 元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 __________ 元。
[選填題]
答案
計算各情況機率：
240元：\(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)；
320元：\(C^3_2\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{16}\)；
400元：\(C^4_2\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{3}{16}\)；
480元：\(1-\frac{1}{8}-\frac{3}{16}-\frac{3}{16}=\frac{1}{2}\)。
期望值 \(=240\times\frac{1}{8}+320\times\frac{3}{16}+400\times\frac{3}{16}+480\times\frac{1}{2}=405\) 元。
113學測數學A考科_11
考慮二元一次方程組 \(\begin{cases} ax + by = 6 \\ x + by = 1 \end{cases}\)，其係數 \(a, b\) 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 \(a\) 值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時 \(b\) 值為 1，若硬幣出現反面時 \(b\) 值為 2。試選出正確的選項。
(1) 擲出 \(a = b\) 的機率為 \(\frac{1}{3}\)
(2) 此方程組無解的機率為 \(\frac{1}{12}\)
(3) 此方程組有唯一解的機率為 \(\frac{5}{6}\)
(4) 硬幣出現反面且此方程組有解的機率為 \(\frac{1}{2}\)
(5) 在硬幣出現反面且此方程組有解的條件下，\(x\) 值為正的機率為 \(\frac{2}{5}\)
答案
113學測數學A考科_15
某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動，報名截止後，主持人依報名人數置入同數量的摸彩球，其中有10顆被標示為幸運獎，其獎項為5000元禮券及8000元禮券各5顆，每顆球被抽中的機率皆相同，抽後不放回。抽獎前，主辦單位依獎項個數與報名人數，主持人公告中獎機率為0.4%。開始抽獎後，每人依序抽球，每個人只有一次抽獎機會。若前100位參加抽獎者，恰有1人抽中5000元禮券且沒有人抽中8000元禮券，則抽獎順序為第101號者可獲禮券金額的期望值為 __________ 元。
[選填題]
答案
107指考數學乙試題-06
某經銷商對甲、乙兩款血壓計作品管檢驗，發現從甲款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.32及0.1。從乙款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.16及0.05。在甲、乙兩款的檢驗是獨立事件的情況下，試選出正確的選項。
(1) 從甲款中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg但不超過6mmHg的機率大於0.2
(2) 若從待檢驗的甲款血壓計中連續抽兩次，每次抽一個血壓計檢驗後放回，假設這兩次的檢驗是獨立事件，其誤差依次為不超過3mmHg及超過6mmHg的機率為0.136
(3) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，其誤差都不超過3mmHg的機率大於0.7
(4) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，至少有一個誤差不超過3mmHg的機率大於0.84
(5) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，兩者誤差的平均超過3mmHg的機率小於0.32×0.16
答案
(1) 甲款：P(3\<誤差≤6) = 0.32 - 0.1 = 0.22 \gt 0.2，正確。
(2) 甲款：P(不超過3) = 1 - 0.32 = 0.68，P(超過6) = 0.1，乘積 0.68×0.1=0.068，錯誤。
(3) 甲款 P(不超過3)=0.68，乙款 P(不超過3)=0.84，乘積 0.68×0.84=0.5712 \< 0.7，錯誤。
(4) P(至少一個不超過3) = 1 - P(兩者都超過3) = 1 - 0.32×0.16 = 1 - 0.0512 = 0.9488 \gt 0.84，正確。
(5) 兩者誤差平均超過3 ⇒ 兩者誤差和超過6，即甲超過3且乙超過3? 不一定，可能一超過6一不到3但平均超過3。但題意可能指「兩者都超過3」的機率 0.32×0.16=0.0512，但「平均超過3」的機率 ≥ 此值，所以「小於 0.32×0.16」錯誤。
答案為 (1)(4)。