機率的定義與計算

(4)

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針對擲骰子對應移動規則的機率分析如下：
已知骰子點數（1~6）對應移動值：
| 點數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|------|---|---|---|---|---|---|
| 移動 | 0 | +1 | -2 | +2 | -4 | +3 |

### (1)×
符合某條件的情況數為2，總情況數為6，故機率\( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)，描述錯誤。

### (2)○
計算移動的期望值：
\[
\begin{align*}
\text{期望值} &= 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{6} + (-2) \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + (-4) \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} \\
&= \frac{0 + 1 - 2 + 2 - 4 + 3}{6} = 0
\end{align*}
\]

### (3)×
移動值的可能範圍是\(-4, -2, 0, 1, 2, 3\)，無法得到\(-5\)，故描述錯誤。

### (4)○
① 點數和為奇數，等價於「點數一奇一偶」，情況數為\((3 \times 3) \times 2 = 18\)種；
② 點數一奇一偶且坐標為正的情況：
奇數點數（1,3,5）對應移動值\(0, -2, -4\)，偶數點數（2,4,6）對應移動值\(1,2,3\)，符合「坐標為正」的組合共4×2=8種。

因此條件機率為：
\[
\frac{8}{18} = \frac{4}{9}
\]

### (5)×
擲骰子三次後棋子在原點的情況，對應三次移動值之和為0，但計算的機率表達式邏輯混亂（如重複計數、符號錯誤），故描述錯誤。

故選(2)(4)。

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設 \( P(X=k)=c\cdot\frac{1}{k} \)
總機率：\( c(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=c\times\frac{25}{12}=1 \) ⇒ \( c=\frac{12}{25} \)
\( P(X=3)=\frac{12}{25}\times\frac{1}{3}=\frac{4}{25} \)
答案：\( \frac{4}{25} \)

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針對通勤時間的分析如下：
(1)×
通勤時間在\(34 \leq T < 35\)之間的機率\(p\)範圍是\(0 \leq p \leq 0.4\)，不一定等於0.2。 (2)× - 五天都騎腳踏車的最多時間：\(40 \times 5 = 200\)分鐘 - 四天騎腳踏車+一天步行的最少時間：\(30 \times 4 + 60 = 180\)分鐘 兩者無必然的「誰少於誰」關係，故該描述錯誤。 (3)○ 設步行每天60分鐘，騎腳踏車每天30~40分鐘，總時間為250分鐘，逐一驗證： - 五天步行：\(5 \times 60 = 300 > 250\)（不合）
- 四天步行+一天騎腳踏車：\(4 \times 60 + 30 > 250\)（不合）
- 三天步行+兩天騎腳踏車：\(3 \times 60 + 2 \times 35 = 250\)（合）
- 少於三天步行的情況：總時間均\(<250\)（不合） 故這五天一定是三天步行、兩天騎腳踏車。 (4)○ 「兩天通勤總時間至少90分鐘」等價於「至少有一天步行」（步行60分鐘+騎腳踏車30分鐘即≥90）。 假設每天步行/騎腳踏車的機率各為\(\frac{1}{2}\)，則： \[ \begin{align*} P(\text{至少一天步行}) &= P(\text{正,反}) + P(\text{反,正}) + P(\text{正,正}) \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} = 0.75 \end{align*} \] (5)× 「兩天通勤總時間至少76分鐘」的機率，大於「兩天均38分鐘以上」的機率（\(0.1 \times 0.1 = 0.01\)），但該描述邏輯不嚴謹（未明確機率對比的合理性），故錯誤。 故選(3)(4)。

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三位數共有 \(9 \times 10 \times 10 = 900\) 個。
滿足 \(a+b+c=9\) 的非負整數解，\(a\ge 1\)，令 \(a' = a-1\)，則 \(a'+b+c=8\)，\(a',b,c \ge 0\)，非負整數解個數為 \(\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2} = 45\)。
機率 \(= \frac{45}{900} = \frac{1}{20}\)。
答案為 \(\frac{1}{20}\)。

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樣本空間 36 種。
事件 A：點數和為 6 → (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 共 5 種。
事件 B：至少一顆點數 6 → 共 11 種（6 且非 6：5+5=10，加上 (6,6) 重複？直接算：第一個骰子 6：6 種，第二個骰子 6：6 種，扣 (6,6) 重複，得 6+6-1=11 種）。
但 A 與 B 有重複：和為 6 且至少一顆 6 → 無（因和 6 時最大 5）。
所以 \( |A \cup B| = 5+11=16 \)。
機率 \(= \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\)。
期望值 \(= 36 \times \frac{4}{9} = 16\) 元。
答案為 16。

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1. 先算A大於B的總次數：表格中A大共18次；
2. 再算A大且B=6的次數：B=6時A大的次數為2次；
3. 條件機率\(P=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\),\(P=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\)。答案：(2) \(\frac{1}{9}\)

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試題內容

試題內容

答題卷

選擇(填)題答案

好的，我們先一步步推理這個抽獎問題。

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## 1. 初始情況

箱子裡有 5 張牌：
- 2 張 1000 元
- 3 張 0 元

某甲先隨機抽一張牌（不知道金額），然後主持人放入一張 500 元牌，此時箱中有 5 張牌：
- 某甲手上 1 張（可能是 1000 元或 0 元）
- 箱子裡剩 4 張牌（包含 2 張 1000 元與 3 張 0 元中的剩餘部分）
- 再加入 1 張 500 元牌，所以箱子裡總共 4 張牌（來自原剩的 4 張 + 0 張？等等，要算清楚）

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**初始：** 箱 5 張 = 2 張 1000 元 + 3 張 0 元
甲抽 1 張後，箱剩 4 張牌（結構取決於甲抽到什麼）。
然後主持人放入 1 張 500 元牌，所以此時箱中有 5 張牌嗎？不對，題意是：
「參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人再將一張標示金額『500 元』的牌放入箱中。」
所以順序是：
1. 甲抽 1 張（箱剩 4 張）
2. 主持人放入 500 元牌（箱變為 4 + 1 = 5 張）
3. 甲決定（一）保留原牌，或（二）放棄原牌（不放回），再從箱中抽 1 張。

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## 2. 選擇（一）的情況

甲保留原牌，獎金就是原牌金額。

原牌來自初始 5 張牌（2 張 1000 元，3 張 0 元），所以：
- 獎金 0 元機率 = \( \frac{3}{5} \)
- 獎金 1000 元機率 = \( \frac{2}{5} \)

期望值 = \( 0 \times \frac{3}{5} + 1000 \times \frac{2}{5} = 400 \) 元

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**(1)** 獲得獎金 0 元的機率為 \( \frac{3}{5} \) ✅ 正確
**(2)** 期望值為 500 元 ❌ 錯誤（是 400 元）

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## 3. 選擇（二）的情況

甲放棄原牌（不放回），再從箱中抽 1 張。
此時箱中 5 張牌：
- 原剩 4 張（結構取決於第一抽抽到什麼）
- 加上主持人放入的 1 張 500 元牌

所以第一抽的結果會影響箱中牌的分佈。

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### 情況 1：第一抽抽到 1000 元（機率 \( \frac{2}{5} \)）
初始剩 4 張牌 = 1 張 1000 元 + 3 張 0 元
加入 500 元牌後：箱中 = 1 張 1000 元 + 3 張 0 元 + 1 張 500 元（共 5 張）
第二抽獎金分佈：
- 1000 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 500 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 0 元機率 = \( \frac{3}{5} \)

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### 情況 2：第一抽抽到 0 元（機率 \( \frac{3}{5} \)）
初始剩 4 張牌 = 2 張 1000 元 + 2 張 0 元
加入 500 元牌後：箱中 = 2 張 1000 元 + 2 張 0 元 + 1 張 500 元（共 5 張）
第二抽獎金分佈：
- 1000 元機率 = \( \frac{2}{5} \)
- 500 元機率 = \( \frac{1}{5} \)
- 0 元機率 = \( \frac{2}{5} \)

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## 4. 選擇（二）的總機率

**(3) 獲得獎金 1000 元的機率**
\[
P = \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}
= \frac{2}{25} + \frac{6}{25} = \frac{8}{25}
\]
選項說 \( \frac{2}{5} = \frac{10}{25} \) ❌ 錯誤

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**(4) 獲得獎金 0 元的機率**
\[
P = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}
= \frac{6}{25} + \frac{6}{25} = \frac{12}{25}
\]
✅ 正確

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**(5) 獲得獎金的期望值**

情況 1（第一抽 1000 元，機率 \( \frac{2}{5} \)）：
期望值 = \( \frac{1}{5} \times 1000 + \frac{1}{5} \times 500 + \frac{3}{5} \times 0 = 200 + 100 = 300 \)

情況 2（第一抽 0 元，機率 \( \frac{3}{5} \)）：
期望值 = \( \frac{2}{5} \times 1000 + \frac{1}{5} \times 500 + \frac{2}{5} \times 0 = 400 + 100 = 500 \)

總期望值 =
\[
\frac{2}{5} \times 300 + \frac{3}{5} \times 500
= 120 + 300 = 420
\]
✅ 正確

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## 5. 結論

正確選項：(1)、(4)、(5)

\[
\boxed{145}
\]

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試題內容

試題內容

答題卷

選擇(填)題答案

1. 付300元即先付225元兩次未抽中，再付75元，故機率為兩次未抽中的機率；
2. 每次未抽中機率 \(\frac{3}{5}\)，兩次獨立，機率 \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)。答案：(3) \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\)

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試題內容
試題內容
選擇(填)題答案
非選擇題評分原則

設事件 \( A \)：前2次投擲至少出現1次正面；
事件 \( B \)：8次投擲恰好出現3次正面。

#### 計算 \( P(A) \)
前2次至少1次正面的概率：
\[
P(A) = \binom{2}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \binom{2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]

#### 計算 \( P(A \cap B) \)
\( A \cap B \) 表示「前2次至少1次正面，且8次共3次正面」，分兩種情況：
1. 前2次1正1反，後6次2正4反：\( \binom{2}{1}\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{30}{256} \)；
2. 前2次2正，後6次1正5反：\( \binom{2}{2}\binom{6}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{6}{256} \)。

故：
\[
P(A \cap B) = \frac{30 + 6}{256} = \frac{36}{256} = \frac{9}{64}
\]

#### 計算條件機率 \( P(B|A) \)
由條件機率公式：
\[
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{9}{64}}{\frac{3}{4}} = \frac{3}{16}
\]

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