一圓盤分成標有數字0、1的兩區域，且圓盤上有一可轉動的指針。已知每次轉動指針後，前後兩次指針停在同一區域的機率為\(\frac{1}{4}\)，而停在不同區域的機率為\(\frac{3}{4}\)。遊戲規則為連續轉動指針三次，計算指針在這三次所停區域的標號數字之和。若遊戲前指針的位置停在標號數字為1的區域，則此遊戲的期望值為__________。(化成最簡分數)
[選填題]計算三次試驗（1的機率\(\frac{1}{4}\)、0的機率\(\frac{3}{4}\)）的期望值，考慮排列：
1. **三次都是1（僅1種排列）**：
\[
\left(\frac{1}{4}\right)^3 \times 3 = \frac{3}{64}
\]
2. **2個1、1個0（共\(\binom{3}{2}=3\)種排列）**：
每種排列的機率為\(\left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4}\)，每種對應總和2，故貢獻：
\[
3 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \frac{3}{4} \times 2 = 3 \times \frac{3}{64} \times 2 = \frac{18}{64}
\]
3. **1個1、2個0（共\(\binom{3}{1}=3\)種排列）**：
每種排列的機率為\(\frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2\)，每種對應總和1，故貢獻：
\[
3 \times \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times 1 = 3 \times \frac{9}{64} \times 1 = \frac{27}{64}
\]
4. **三次都是0（僅1種排列）**：
\[
\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times 0 = 0
\]
期望值：
\[
\frac{3 + 18 + 27 + 36}{64} = \frac{84}{64} = \frac{21}{16}
\]
