某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1)試寫出描述上述現象的轉移矩陣。
答案
矩陣與其運算
106指考數學乙試題-非選擇一(2)
(2)試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？
[非選擇題]
答案
110指考數學乙試題-_B
設矩陣 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \)，\( B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \)，其中 \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \) 為矩陣 \( \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 的反方陣。若 \( A + B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，則 \( a + b + c + d = \underline{\qquad} \)
[選填題]
答案
設 \( P = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)，則 \( P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)。
\( A = P \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} P^{-1} \)，\( B = P \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} P^{-1} \)。
\( A+B = P\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)P^{-1} = P \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} P^{-1} = 7PP^{-1} = 7I \)。
故 \( A+B = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \)，\( a+b+c+d=7+0+0+7=14 \)。答案：14
109指考數學乙(補考)試題-03
下列矩陣中，試選出矩陣乘法有意義且等式正確的選項。（註：選項中的[-1]與[-5]皆為一階方陣）
(1) \( [1 \quad 2][-1]=[-1 \quad -2] \)
(2) \( [-1][1 \quad 2]=[\begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix}] \)
(3) \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}[5 \quad 6]=[17 \quad 39] \)
(4) \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}[-1 \quad -2]=[-5] \)
(5) \( [-1 \quad 1]\begin{bmatrix} 1 & 109 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}=[-1 \quad -110] \)
答案
(1) \( 1\times2 \) 矩陣乘 \( 1\times1 \) 矩陣，維度不符
(2) \( 1\times1 \) 乘 \( 1\times2 \) 得 \( 1\times2 \)，但結果寫成 \( 2\times1 \)，錯誤
(3) \( 2\times2 \) 乘 \( 1\times2 \)，維度不符
(4) \( 2\times1 \) 乘 \( 1\times2 \) 得 \( 2\times2 \)，但結果寫成 \( 1\times1 \)，錯誤
(5) \( 1\times2 \) 乘 \( 2\times2 \) 得 \( 1\times2 \)，計算：\( [-1\times1+1\times0, -1\times109+1\times(-1)] = [-1, -110] \)，正確
答案：(5)
109指考數學乙試題-01
矩陣 \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}^5\) 與下列哪一個矩陣相等？
(1) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -5 & -1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}\)
答案
設 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)，觀察矩陣冪次規律：
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \)
\( A^4 = A^3 \cdot A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \)
\( A^5 = A^4 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \)，故答案為(5)。
108指考數學乙試題-03
若向量 \(\overset{\rightharpoonup}{A} = (a_1, a_2)\)，向量 \(\overset{\rightharpoonup}{B} = (b_1, b_2)\)，且內積 \(\overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} = 1\)，則矩陣乘積 \(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\) 等於下列哪一個選項？
(1) [1 1]
(2) [2 2]
(3) \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)
答案
矩陣乘法：\(\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 \\ a_1 b_1 + a_2 b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \\ \overset{\rightharpoonup}{A} \cdot \overset{\rightharpoonup}{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)。
答案為 (3)。
114分科測驗數學乙考科試卷-07
設二階方陣 \(A=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項？
(1) \(A^2=A\)
(2) \(A+B=B+A\)
(3) \(AB=BA\)
(4) \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)
(5) \((A+B)^2=2(A+B)\)
答案
1. (1) \(A^2=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A\)，對；
2. (2) 矩陣加法交換律，\(A+B=B+A\)，對；
3. (3) \(AB=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(BA=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，不相等，錯；
4. (4) 左\(=\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\)，右\(=\begin{bmatrix}1&-2\\1&-2\end{bmatrix}\)，錯；
5. (5) \((A+B)^2=2(A+B)\)，對。答案：(1)(2)(5)
107指考數學甲試題-01
設\(A\)為\(3\times3\)矩陣，且對任意實數\(a,b,c\)，\(A\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b\\c\\a\end{bmatrix}\)均成立。試問矩陣\(A^{2}\begin{bmatrix}1\\0\\ -1\end{bmatrix}\)為何？
(1)\(\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}\)
(2)\(\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\)
(3)\(\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\)
(4)\(\begin{bmatrix}0\\1\\ -1\end{bmatrix}\)
(5)\(\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}\)
答案
由\(A\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b\\c\\a\end{bmatrix}\)，令\(\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)，可得\(A\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)；令\(\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)，可得\(A\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)；令\(\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)，可得\(A\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)。
所以\(A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\)。
則\(A^{2}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\)。
所以\(A^{2}\begin{bmatrix}1\\0\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\ -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}\)。
答案為(2)。
110指考數學甲試題-04
某電子公司有數百名員工，其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發現：若當日用餐為自備的員工，則隔天會有10%轉為外食；若當日用餐為外食的員工，則隔天會有20%轉為自備。假設\(x_{0}\)、\(y_{0}\)分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例，其中\(x_{0}\)、\(y_{0}\)皆為正數，且\(x_{n}\)、\(y_{n}\)分別代表經過\(n\)日後用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。
(1)\(y_{1}=0.9y_{0}+0.2x_{0}\)
(2)\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\)
(3)若\(\frac{x_{0}}{y_{0}}=\frac{2}{1}\) ，則\(\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{2}{1}\) 對任意正整數\(n\)均成立
(4)若\(y_{0}\gt x_{0}\) ，則\(y_{1}\gt x_{1}\)
(5)若\(x_{0}\gt y_{0}\) ，則\(x_{0}\gt x_{1}\)
答案
(1)今日外食的員工隔天有\(80\%\)仍外食，自備員工隔天有\(10\%\)轉為外食，所以\(y_{1}=0.8y_{0}+0.1x_{0}\) ，(1)錯誤。
(2) 自備人數\(x_{n + 1}=0.9x_{n}+0.2y_{n}\) ，外食人數\(y_{n + 1}=0.1x_{n}+0.8y_{n}\) ，用矩陣表示即\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\) ，(2)正確。
(3)若\(\frac{x_{0}}{y_{0}}=\frac{2}{1}\) ，即\(x_{0}=2y_{0}\) ，代入遞推式\(\begin{bmatrix}x_{n + 1}\\y_{n + 1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.9&0.2\\0.1&0.8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}\) 可得\(\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{2}{1}\) 恆成立，(3)正確。
(4) \(y_{1}-x_{1}=(0.8y_{0}+0.1x_{0})-(0.9x_{0}+0.2y_{0})=0.6y_{0}-0.8x_{0}\) ，當\(y_{0}\gt x_{0}\) 時，\(y_{1}-x_{1}\)不一定大於\(0\) ，(4)錯誤。
(5) \(x_{1}=0.9x_{0}+0.2y_{0}\) ，\(x_{0}-x_{1}=0.1x_{0}-0.2y_{0}\) ，當\(x_{0}\gt y_{0}\) 時，\(x_{0}-x_{1}\)不一定大於\(0\) ，(5)錯誤。答案為(2)(3)。
112分科測驗數學甲考科試題-06
設 \(a,b,c,d,r,s,t\) 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 \(\overrightarrow{u} = (a,b,0) \cdot \overrightarrow{v} = (c,d,0)\) 及
\(\overrightarrow{w} = (r,s,t)\)
滿足內積 \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)。考慮三階方陣 \(A = \begin{bmatrix}
a & b & 0 \\
c & d & 0 \\
r & s & t
\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項。
(1) 若 \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(2) 若 \(t \neq 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(3) 若存在一個向量 \(\overrightarrow{w}\) 滿足 \(\overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0\) 且外積 \(\overrightarrow{w} \times \overrightarrow{w} \neq 0\)，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(4) 若對任意三個實數 \(e,f,g\)，向量 \((e,f,g)\) 都可以表示成 \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\) 的線性組合，則行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)
(5) 若行列式 \(\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \neq 0\)，則 \(A\) 的行列式不等於0
答案