矩陣與其運算

1. 設 \( A = \begin{bmatrix} m & n \\ p & q \\ r & s \end{bmatrix} \)，計算 \( A\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)：
\[
\begin{bmatrix} m - n & n \\ p - q & q \\ r - s & s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 \\ -2 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}
\]
2. 對應元素相等，得：
- \( m - n = 4 \)，\( n = -6 \implies m = 4 + (-6) = -2 \)
- \( p - q = -2 \)，\( q = 1 \implies p = -2 + 1 = -1 \)
- \( r - s = 3 \)，\( s = 5 \implies r = 3 + 5 = 8 \)
3. 計算 \( A\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m \\ p \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 8 \end{bmatrix} \)，即 \( a = -2 \)，\( b = -1 \)，\( c = 8 \)
4. 求和：\( a + b + c = -2 + (-1) + 8 = 5 \)，故答案為(4)。

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0p051541901400830673/04-114%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

首先解第一個矩陣方程：
由\(\begin{cases} a - b = 1 \\ 3a - 2b = 0 \end{cases}\)，
由第一式得\( a = b + 1 \)，代入第二式：
\( 3(b + 1) - 2b = 0 \implies b + 3 = 0 \implies b = -3 \)，
則\( a = -3 + 1 = -2 \)。

接著計算第二個矩陣方程：
\( 2a + 1 = 2 \times (-2) + 1 = -3 \)，
\( 2b + 1 = 2 \times (-3) + 1 = -5 \)，
因此\(\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 - (-5) \\ 3 \times (-3) - 2 \times (-5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)，
即\( c = 2 \)，\( d = 1 \)。

故\( c - 3d = 2 - 3 \times 1 = -1 \)。

1. 逐步計算矩陣乘法：
- 先計算 \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \times 1 + b \times 0 & a \times 0 + b \times (-2) \\ c \times 1 + d \times 0 & c \times 0 + d \times (-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & -2b \\ c & -2d \end{bmatrix}\)
- 再計算 \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & -2b \\ c & -2d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times a + 1 \times c & 0 \times (-2b) + 1 \times (-2d) \\ 1 \times a + 0 \times c & 1 \times (-2b) + 0 \times (-2d) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & -2d \\ a & -2b \end{bmatrix}\)
2. 對應等式 \(\begin{bmatrix} c & -2d \\ a & -2b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -9 & -7 \end{bmatrix}\)，可得：
- \(c = 3\)
- \(-2b = -7 \implies b = \frac{7}{2}\)
3. 計算 \(c - 2b\)：
\(c - 2b = 3 - 2 \times \frac{7}{2} = 3 - 7 = -4\)，故答案為(2)。

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

$\begin{align*}
&計算矩陣冪：A^2=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}=2I，\\
&故A^7=A^6×A=(A^2)^3×A=(2I)^3×A=8A。\\
\\
&計算A^7-3A=8A-3A=5A=\begin{bmatrix}5&5\\5&-5\end{bmatrix}，\\
&其元素和：5+5+5-5=10，故選(5)。
\end{align*}$

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf