設 \(a, b, c\) 均為正整數，且 \(1\lt a\lt b\lt c\lt 9\)，若 \(\frac{a}{5}\)，\(\frac{b}{10}\)，\(\frac{c}{15}\) 三數成等比，則公比為何？
\((1) 2\)
\((2) 1\)
\((3) 0.5\)
\((4) 0.25\)
\((5) 0.125\)
等比數列中項性質：\((\frac{b}{10})^2 = \frac{a}{5} \times \frac{c}{15}\)，化簡得 \(3b^2 = 2ac\)。代入正整數 \(a=2\)、\(b=4\)、\(c=6\)（滿足 \(1\lt a\lt b\lt c\lt9\)），公比 \(r = \frac{\frac{4}{10}}{\frac{2}{5}} = 1\)。答案：\((2)\)
設 \(n\) 為正整數,符號 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n\) 代表矩陣 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) 自乘 \(n\) 次。令 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{pmatrix}\),請選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 1\)
(2) \(a_1, a_2, a_3\) 為等比數列
(3) \(d_1, d_2, d_3\) 為等比數列
(4) \(b_1, b_2, b_3\) 為等差數列
(5) \(c_1, c_2, c_3\) 為等差數列
\[
\begin{aligned}
&\text{已知 } A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \\
&A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \\
&A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \\
&A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 15 \\ 0 & 16 \end{bmatrix} \\
\\
&\text{歸納得：} A^n = \begin{bmatrix} 1 & 1+2+\cdots+2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2^n-1 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} \\
&\text{設 } A^n = \begin{bmatrix} a_n & b_n \\ c_n & d_n \end{bmatrix} \\
&\Rightarrow a_n = 1,\ b_n = 2^n-1,\ c_n = 0,\ d_n = 2^n \\
\\
&(1)\ a_2 = 1 \quad (\bigcirc) \\
&(2)\ a_1,a_2,a_3 = 1,1,1 \Rightarrow \text{公比 }=1 \quad (\bigcirc) \\
&(3)\ d_1,d_2,d_3 = 2,4,8 \Rightarrow \text{公比 }=2 \quad (\bigcirc) \\
&(4)\ b_1,b_2,b_3 = 1,3,7 \Rightarrow \text{非等差數列} \quad (X) \\
&(5)\ c_1,c_2,c_3 = 0,0,0 \Rightarrow \text{公差 }=0 \quad (\bigcirc)
\end{aligned}
\]
設實數組成的數列 \(\lt a_n\gt\) 是公比為 \(-0.8\) 的等比數列,實數組成的數列 \(\lt b_n\gt\) 是首項為 10 的等差數列。已知 \(a_9 > b_9\) 且 \(a_{10} > b_{10}\)。請選出正確的選項。
(1) \(a_9 \times a_{10} < 0\)
(2) \(b_{10} > 0\)
(3) \(b_9 > b_{10}\)
(4) \(a_9 > a_{10}\)
(5) \(a_8 > b_8\)
(1) ○：
∵ \( a_9 \times a_{10} = a_1^2 \times (-0.8)^{17} < 0 \)，
∴ 成立。
(2) X：
由 \( a_9 = (-0.8)^8 \cdot a_1 + 8d > 0 \)、
\( a_{10} = (-0.8)^9 \cdot a_1 + 9d < 0 \)，
相減得 \( 9d < -0.8^9 a_1 - 8d \)，
整理得 \( d < -\dfrac{90}{77} \)。
∴ \( b_{10} = 10 + 9d < 10 - \dfrac{810}{77} = -\dfrac{40}{77} < 0 \)。
(3) ○：
∵ \( d < -\dfrac{90}{77} < 0 \)，
∴ \( b_{10} - b_9 = d < 0 \Rightarrow b_{10} < b_9 \)。
(4) ×：不一定。
若 \( a_1 > 0 \)，則 \( a_9 > 0 > a_{10} \)；
若 \( a_1 < 0 \)，則 \( a_9 < 0 < a_{10} \)。
故大小關係不固定。
(5) ×：不一定。
同上，因 \( a_1 \) 正負未定，無法比較 \( a_9 \) 與 \( a_{10} \)。
設 \(a_1 = 1\) 且 \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) 為等差數列。請選出正確的選項。
(1) 若 \(a_{100} > 0\),則 \(a_{1000} > 0\)
(2) 若 \(a_{100} < 0\),則 \(a_{1000} < 0\)
(3) 若 \(a_{1000} > 0\),則 \(a_{100} > 0\)
(4) 若 \(a_{1000} < 0\),則 \(a_{100} < 0\)
(5) \(a_{1000} – a_{10} = 10(a_{100} – a_1)\)
設公差為 \( d \)。由公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，得：
\[
a_{100} = 1 + 99d, \quad a_{1000} = 1 + 999d
\]
(1) 反例：當 \( d = -0.01 \) 時，
\( a_{100} = 1 - 0.99 = 0.01 > 0 \)，但 \( a_{1000} = 1 - 9.99 = -8.99 < 0 \)。
(2) 若 \( a_{100} = 1 + 99d < 0 \)，則 \( d < -\dfrac{1}{99} \)，
故 \( a_{1000} = 1 + 999d < 1 - \dfrac{999}{99} < 0 \)。
(3) 若 \( a_{1000} = 1 + 999d > 0 \)，即 \( d > -\dfrac{1}{999} \)，
則 \( a_{100} = 1 + 99d > 1 - \dfrac{99}{999} > 0 \)。
(4) 反例：當 \( d = -0.01 \) 時，
\( a_{1000} = -8.99 < 0 \)，但 \( a_{100} = 0.01 > 0 \)。
(5) 因為：
\[
a_{1000} - a_{10} = (1 + 999d) - (1 + 9d) = 990d
\]
\[
10(a_{100} - a_1) = 10(1 + 99d - 1) = 990d
\]
所以 \( a_{1000} - a_{10} = 10(a_{100} - a_1) \)。
故選 (2)(3)(5)。
每週同一時間點記錄某植物的成長高度,連續五週的數據為
\(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 15\), \(a_5 = 31\)。
請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子？
(1) \(a_{i+1} = 3a_i – 1\),\(i = 1, 2, 3, 4\)
(2) \(a_i = i!\),\(i = 1, 2, 3, 4, 5\)
(3) \(a_{i+1} = a_i + i^2\),\(i = 1, 2, 3, 4\)
(4) \(a_i = 2^i – 1\),\(i = 1, 2, 3, 4, 5\)
(5) \(a_{i+1} = i a_i + 1\),\(i = 1, 2, 3, 4\)
第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元、依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍,如此進行到第 30 天,試問這 30 天所獲得的錢,總數最接近下列哪一個選項？
(1) 10,000 元
(2) 1,000,000 元
(3) 100,000,000 元
(4) 1,000,000,000 元
(5) 1,000,000,000,000 元
小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業基金,其年利率為3%,約定三年期滿一次還清貸款的本利和。銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款,但給小華創業優惠改以單利計息還款。試問在此優惠下,小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳 __________元。
[選填]遞迴數列 \( (a_n) \) 滿足 \( a_n = a_{n-1} + f(n-2) \)，其中 \( n \geq 2 \) 且 \( f(x) \) 為二次多項式。若 \( a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 5, \, a_4 = 12 \)，則 \( a_5 = \underline{\qquad} \)。
[選填題]\( a_1, a_2, \cdots, a_n \) 為等差數列且 k 為實數，若方程組 \[ \begin{cases} a_1 x – a_2 y + 2a_3 z = k+1 \\ a_4 x – a_5 y + 2a_6 z = -k-5 \\ a_7 x – a_8 y + 2a_9 z = k+9 \end{cases} \] 有解，則 \( k = \underline{\qquad} \)。
[選填題]設公差為d。將第二式減第一式，得 \(d x - d y + 2d z = -2k -6 \Rightarrow x - y + 2z = \frac{-2k-6}{d}\)。將第三式減第二式，得 \(d x - d y + 2d z = 2k + 14 \Rightarrow x - y + 2z = \frac{2k+14}{d}\)。因方程組有解，故 \(\frac{-2k-6}{d} = \frac{2k+14}{d} \Rightarrow -2k-6 = 2k+14 \Rightarrow -4k=20 \Rightarrow k=-5\)。答案：-5
坐標平面上兩圖形 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 的方程式分別為：\(\Gamma_1 : (x+1)^2 + y^2 = 1\)、\(\Gamma_2 : (x+y)^2 = 1\)。請問 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 共有幾個交點？
(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個。
