數列和級數

設 \((a_i)\) 為一等比數列。已知前十項的和為 \(\sum\limits_{i=1}^{10} a_i = 80\)，前五個奇數項的和為 \(a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = 120\)，請選出首項 \( a_1 \) 的正確範圍。
(1) \( a_1 \lt 80 \)
(2) \( 80 \leq a_1 \lt 90 \)
(3) \( 90 \leq a_1 \lt 100 \)
(4) \( 100 \leq a_1 \lt 110 \)
(5) \( 110 \leq a_1 \)。

試問共有幾個角度 θ 滿足 \(0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ\)，且 \(\cos(3\theta – 60^\circ)\)，\(\cos 3\theta\)，\(\cos(3\theta + 60^\circ)\) 依序成一等差數列？
(1) 1個
(2) 2個
(3) 3個
(4) 4個
(5) 5個。

設各項都是實數的等差數列 \(a_1, a_2, a_3, \cdots\) 之公差為正實數\(\alpha\)，試選出正確的選項。
(1)若 \(b_n = -a_n\)，則 \(b_1 \gt b_2 \gt \cdots\)
(2)若 \(c_n = a_n^2\)，則 \(c_1 \lt c_2 \lt c_3 \lt \cdots\)
(3)若 \(d_n = a_n + a_{n+1}\)，則 \(d_1, d_2, d_3, \cdots\) 是公差為\(\alpha\)的等差數列
(4)若 \(e_n = a_n + n\)，則 \(e_1, e_2, e_3, \cdots\) 是公差為\(\alpha + 1\)的等差數列
(5)若 \(f_n\) 為 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\)的算術平均數，則 \(f_1, f_2, f_3, \cdots\) 是公差為\(\alpha\)的等差數列。

有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金100元；若兩個條件都滿足，則共得200元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為1,3，且所得獎金為100元，則未知的骰子點數可能為何？
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
(5) 6。

設a,b,c為實數且滿足\(\log a = 1.1\)、\(\log b = 2.2\)、\(\log c = 3.3\)。試選出正確的選項。
(1) \( a + c = 2b \)
(2) \( 1 \lt a \lt 10 \)
(3) \( 1000 \lt c \lt 2000 \)
(4) \( b = 2a \)
(5) \( a, b, c \) 成等比數列。

網路賣家以 200 元的成本取得某件模型，並以成本的 5 倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為 __________ 元。

有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的機率各為 \(\frac{1}{2}\)；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為 \(\frac{1}{3}\)，不同色的機率為 \(\frac{2}{3}\)。今末再投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為 __________。（化為最簡分數）

設 S 為坐標平面上直線 \(2x+y=10\) 被平行線 \(x-2y+15=0\) 與 \(x-2y=0\) 所截的線段（含端點）。若直線 \(3x-y=c\) 與 S 有交點，則 c 的最小值為 __________。