某抽獎遊戲單次中獎機率為0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 \( n \)，令 \( p_n \) 為玩此遊戲 \( n \) 次至少中獎1次的機率。試選出正確的選項。
(1) \( p_{n+1} \gt p_n \)
(2) \( p_3 = 0.3 \)
(3) \( \langle p_n \rangle \) 為等差數列
(4)玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 \( p_2 – p_1 \)
(5)玩此遊戲 \( n \) 次且 \( n \geq 2 \) 時，至少中獎2次的機率等於 \( 2p_n \)
設 \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) 是首項為3且公比為\(3\sqrt{3}\)的等比數列。試選出滿足不等式
\(\log_3 a_1 – \log_3 a_2 + \log_3 a_3 – \log_3 a_4 + \cdots + (-1)^{n+1} \log_3 a_n \gt 18\)
的項數 \( n \) 之可能選項。
(1) 23
(2) 24
(3) 25
(4) 26
(5) 27
\( a_n = 3 \cdot (3\sqrt{3})^{n-1} = 3^{\frac{3n-1}{2}} \Rightarrow \log_3 a_n = \frac{3n-1}{2} \)
交錯和 \( S_n = \frac{1}{2}[2 - 5 + 8 - 11 + \cdots + (-1)^{n+1}(3n-1)] \)
當 \( n \) 為奇數時，\( S_n = \frac{1}{2}[2 + 3 \times \frac{n-1}{2}] \gt 18 \Rightarrow n \gt 23\frac{2}{3} \)
又 \( n \) 為奇數，故選(3)(5)
考慮坐標平面上的直線 \( L : 5y + (2k-4)x – 10k = 0 \) (其中 \( k \) 為一實數)，以及長方形 \( OABC \)，其頂點坐標為 \( O(0, 0) \)、\( A(10, 0) \)、\( B(10, 6) \)、\( C(0, 6) \)。設 \( L \) 分別交直線 \( OC \)、直線 \( AB \) 於點 \( D \)、\( E \)。試選出正確的選項。
(1)當 \( k = 4 \) 時，直線 \( L \) 通過點 \( A \)
(2)若直線 \( L \) 通過點 \( C \)，則 \( L \) 的斜率為 \( -\frac{5}{2} \)
(3)若點 \( D \) 在線段 \( OC \) 上，則 \( 0 \leq k \leq 3 \)
(4)若 \( k = \frac{1}{2} \)，則線段 \( DE \) 在長方形 \( OABC \) 內部（含邊界）
(5)若線段 \( DE \) 在長方形 \( OABC \) 內部（含邊界），則 \( L \) 的斜率可能為 \( \frac{3}{10} \)
(1)○：\( k=4 \)時，\( L: 5y+4x-40=0 \) 過 \( A(10,0) \)
(2)×：過 \( C(0,6) \) 得 \( k=3 \)，斜率 \( m = -\frac{2}{5} \)
(3)○：\( D(0,2k) \)，在 \( \overline{OC} \) 上 ⇒ \( 0 \leq 2k \leq 6 \Rightarrow 0 \leq k \leq 3 \)
(4)×：\( k=\frac{1}{2} \)時，\( E(10,7) \) 不在長方形內部
(5)○：\( E(10,8-2k) \)，\( D(0,2k) \) 在長方形內部 ⇒ \( 1 \leq k \leq 3 \)，當 \( m = \frac{3}{10} \) 時 \( k = \frac{5}{4} \) 符合
故選(1)(3)(5)
坐標平面上，\( P(a, 0) \) 為 x 軸上一點，其中 \( a \gt 0 \)。令 \( L_1 \)、\( L_2 \) 為通過 \( P \) 點，斜率分別為 \( -\frac{4}{3} \)、\( -\frac{3}{2} \) 的直線。已知 \( L_1 \)、\( L_2 \) 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 3，試問 \( a \) 值為何？
(1) \( 3\sqrt{2} \)
(2) 6
(3) \( 6\sqrt{2} \)
(4) 9
(5) \( 8\sqrt{2} \)
已知數列 \(\langle a_n \rangle\) 滿足 \(3a_{n+1} = a_n + n\) (對任意正整數 \(n\) 都成立) 且 \(a_1 = 2\)。令數列 \(\langle b_n \rangle\) 滿足 \(b_n = a_n – \frac{n}{2} + \frac{3}{4}\)。試選出正確的選項。
(1) \(a_2 = 2\)
(2) \(b_2 = \frac{3}{4}\)
(3) 數列 \(\langle b_n \rangle\) 是公比為 \(\frac{2}{3}\) 的等比數列
(4) 對於任意正整數 \(n\)，\(3^n a_n\) 皆為正整數
(5) \(b_{10} \lt 10^{-4}\)
假日市集有個攤位推出「試試手氣，定價 480 元的可愛玩偶最低只要 240 元」。規則為：顧客投擲一枚均勻硬幣至多 5 次，前 3 次連續擲得 3 個正面者則只能以 240 元購得一個玩偶，擲到第 4 次才累積得 3 個正面者則只能以 320 元購得一個，擲到第 5 次才累積得 3 個正面者則只能以 400 元購得一個；5 次投完仍未累積 3 個正面者則只能以 480 元購得一個。參與此遊戲的顧客購得一個玩偶所花金額的期望值為 __________ 元。
[選填題]計算各情況機率：
240元：\(\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}\)；
320元：\(C^3_2\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{3}{16}\)；
400元：\(C^4_2\left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{3}{16}\)；
480元：\(1-\frac{1}{8}-\frac{3}{16}-\frac{3}{16}=\frac{1}{2}\)。
期望值 \(=240\times\frac{1}{8}+320\times\frac{3}{16}+400\times\frac{3}{16}+480\times\frac{1}{2}=405\) 元。
18-20 題為題組
20. 設 \(L\) 為過點 \(P\) 且與直線 \(OQ\) 平行的直線，點 \(S\) 為 \(L\) 和直線 \(OR\) 的交點，試求 \(\angle OSP\)，並求點 \(S\) 的坐標。（非選擇題，6分）
設 \( a \in \{-6, -4, -2, 2, 4, 6\} \)，已知 \( a \) 為實係數三次多項式 \( f(x) \) 的最高次項係數，若函數 \( y=f(x) \) 的圖形與 x 軸交於三點，且其 x 坐標成首項為 \(-7\)，公差為 \( a \) 的等差數列。試問共有幾個 \( a \) 使得 \( f(0)>0 \)？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 5 個
對任一正整數\(n\geq 2\)，令\(T_n\)表示邊長為\(n,n+1,n+2\)的三角形。試選出正確的選項。
(1) \(T_n\)皆為銳角三角形
(2) \(T_2,T_3,T_4,\ldots,T_{10}\)的周長形成等差數列
(3) \(T_n\)的面積隨\(n\)增大而增大
(4) \(T_5\)的三高依序形成等差數列
(5) \(T_3\)的最大角大於\(T_2\)的最大角
