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107指考數學乙試題-06

某經銷商對甲、乙兩款血壓計作品管檢驗，發現從甲款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.32及0.1。從乙款每一批中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg及超過6mmHg的機率分別為0.16及0.05。在甲、乙兩款的檢驗是獨立事件的情況下，試選出正確的選項。
(1) 從甲款中抽出一個血壓計，其誤差超過3mmHg但不超過6mmHg的機率大於0.2
(2) 若從待檢驗的甲款血壓計中連續抽兩次，每次抽一個血壓計檢驗後放回，假設這兩次的檢驗是獨立事件，其誤差依次為不超過3mmHg及超過6mmHg的機率為0.136
(3) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，其誤差都不超過3mmHg的機率大於0.7
(4) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，至少有一個誤差不超過3mmHg的機率大於0.84
(5) 從甲、乙兩款中各抽出一個血壓計，兩者誤差的平均超過3mmHg的機率小於0.32×0.16

[多選題]

答案

(1) 甲款：P(3\<誤差≤6) = 0.32 - 0.1 = 0.22 \gt 0.2，正確。
(2) 甲款：P(不超過3) = 1 - 0.32 = 0.68，P(超過6) = 0.1，乘積 0.68×0.1=0.068，錯誤。
(3) 甲款 P(不超過3)=0.68，乙款 P(不超過3)=0.84，乘積 0.68×0.84=0.5712 \< 0.7，錯誤。
(4) P(至少一個不超過3) = 1 - P(兩者都超過3) = 1 - 0.32×0.16 = 1 - 0.0512 = 0.9488 \gt 0.84，正確。
(5) 兩者誤差平均超過3 ⇒ 兩者誤差和超過6，即甲超過3且乙超過3? 不一定，可能一超過6一不到3但平均超過3。但題意可能指「兩者都超過3」的機率 0.32×0.16=0.0512，但「平均超過3」的機率 ≥ 此值，所以「小於 0.32×0.16」錯誤。
答案為 (1)(4)。

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105指考數學乙試題-稿C

設 $ a_n $ 為一等差數列。已知 $ a_2 + a_4 + a_6 = 186 $，$ a_3 + a_7 = 110 $。令 $ s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $。則極限 $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{s_n}{n^2} = $ __________。（請化為最簡分數）

[選填題]

答案

$ -\frac{7}{2} $。

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105指考數學乙試題-非選擇一(2)

(2) 投擲此骰子兩次，試求點數和為3的機率。

[非選擇題]

答案

點數和為3的可能情況：(1,2)或(2,1)。
$P(1,2) = P(X=1)\times P(X=2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{36}$
$P(2,1) = P(X=2)\times P(X=1) = \frac{1}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}$
總機率 = $\frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
答案為 $\frac{1}{18}$。

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106指考數學乙試題-05

設 $ a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots $ 是一公比為 $\frac{1}{2}$ 的無窮等比數列且 $a_1 = 1$。試問以下哪些數列會收斂？
(1) $-a_1, -a_2, \cdots, -a_n, \cdots$
(2) $a_1^2, a_2^2, \cdots, a_n^2, \cdots$
(3) $\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \cdots, \sqrt{a_n}, \cdots$
(4) $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \cdots, \frac{1}{a_n}, \cdots$
(5) $\log a_1, \log a_2, \cdots, \log a_n, \cdots$

[多選題]

答案

$ a_n = (1/2)^{n-1} $。
(1) $ -a_n $ 仍收斂到 0，正確。
(2) $ a_n^2 = (1/4)^{n-1} $ 收斂到 0，正確。
(3) $ \sqrt{a_n} = (1/\sqrt{2})^{n-1} $ 收斂到 0，正確。
(4) $ 1/a_n = 2^{n-1} $ 發散，錯誤。
(5) $ \log a_n = (n-1)\log(1/2) = -(n-1)\log 2 $ 發散到 $-\infty$，錯誤。
答案為 (1)(2)(3)。

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110指考數學乙試題-06

已知實數數列 $ \langle a_n \rangle $ 滿足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{2n+1}{2n-1}a_n $，$ n $為正整數。試選出正確的選項。
(1) $ a_2 = 3 $
(2) $ a_4 = 9 $
(3) $ \langle a_n \rangle $ 為等比數列
(4) $ \sum_{n=1}^{20} a_n = 400 $
(5) $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 2 $

[多選題]

答案

計算：$ a_2 = \frac{3}{1} \times 1 = 3 $，$ a_3 = \frac{5}{3} \times 3 = 5 $，$ a_4 = \frac{7}{5} \times 5 = 7 $，$ a_5 = \frac{9}{7} \times 7 = 9 $
(1) 正確，$ a_2=3 $
(2) 錯誤，$ a_4=7 $
(3) 錯誤，公比非常數
(4) $ a_n = 2n-1 $，求和 $ \sum_{n=1}^{20} (2n-1) = 2\sum n - 20 = 2\times\frac{20\times21}{2}-20=420-20=400 $，正確
(5) $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2 $，正確
答案：(1)(4)(5)

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110指考數學乙試題-07

已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 $\frac{1}{2}$，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為 $\frac{1}{2}$的事件。
(1) 連續射2次飛鏢，恰射中1次
(2) 連續射4次飛鏢，恰射中2次
(3) 連續射4次飛鏢，射中的總次數為奇數
(4) 連續射6次飛鏢，在第1次沒有射中的條件下，第2次有射中
(5) 連續射6次飛鏢，在前2次恰射中1次的條件下，後4次恰射中2次

[多選題]

答案

(1) $ C_2^1 (\frac{1}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $，正確
(2) $ C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{8} $，錯誤
(3) 奇數次：1次或3次，機率 $ C_4^1+C_4^3 = 4+4=8 $種，$ 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2} $，正確
(4) 條件機率，第2次射中機率 $ \frac{1}{2} $（獨立事件），正確
(5) 前2次恰中1次條件下，後4次恰中2次機率 = $ C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{8} $，錯誤
答案：(1)(3)(4)

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110指考數學乙試題-非選擇一(2)

一、(2) 試求直線 $L$ 的方程式。

[非選擇題]

答案

設直線 $L: 4x-3y+k=0$（法向量為(4,-3)）
A到L距離：$\frac{|4(-3)-3(4)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-12-12+k|}{5} = \frac{|k-24|}{5}$
B到L距離：$\frac{|4(3)-3(2)+k|}{5} = \frac{|12-6+k|}{5} = \frac{|k+6|}{5}$
依題意：$\frac{|k-24|}{5} = 5 \times \frac{|k+6|}{5}$ ⇒ $|k-24| = 5|k+6|$
平方：$(k-24)^2 = 25(k+6)^2$
$k^2-48k+576 = 25k^2+300k+900$
$24k^2+348k+324=0$ ⇒ $2k^2+29k+27=0$
$(2k+27)(k+1)=0$ ⇒ $k=-13.5$ 或 $k=-1$
但A,B在L兩側，需滿足$(4(-3)-3(4)+k)(4(3)-3(2)+k) \lt 0$
檢驗：
k=-13.5：$(-12-12-13.5)(12-6-13.5)=(-37.5)(-7.5) \gt 0$（同側）
k=-1：$(-12-12-1)(12-6-1)=(-25)(5) \lt 0$（異側）
故 $k=-1$，直線 $L: 4x-3y-1=0$
答案：$4x-3y-1=0$

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109指考數學乙(補考)-非選擇二(1)

二. 等比數列 $ \langle a_n \rangle $ 的前三項可表為 $\begin{cases} a_1 = x^2 + x + 3 \\ a_2 = 2x + 2 \\ a_3 = x + 2 \end{cases}$，其中 $ x $ 為實數。試回答下列問題。
(1) 試求 $ x $ 的所有可能值。

[非選擇題]

答案

$\begin{align*}
&(1) \ 因為\{a_n\}是等比數列，故\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}，代入得： \\
&\frac{2x+2}{x^2+x+3}=\frac{x+2}{2x+2} \implies (x+2)(x^2+x+3)=(2x+2)^2 \\
&\implies x^3 + 3x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 8x + 4 \implies x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0 \\
\\
&用牛頓有理根檢驗法，可能有理根為\pm1,\pm2，代入得x=2是根，因式分解為： \\
&(x-2)(x^2+x-1)=0 \implies 解為 \ x=2,\ \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
\end{align*}$

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109指考數學乙(補考)試題-非選擇二(2)

二、(2) 已知數列 $ \langle a_n \rangle $ 的每一項都是有理數，試求 $ x $ 的值及所對應的公比。

[非選擇題]

答案

由(1)得 $ x=2 $ 時，$ a_1=4+2+3=9 $，$ a_2=6 $，$ a_3=4 $
公比 $ r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} $
所有項均為有理數
答案：$ x=2 $，公比 $ \frac{2}{3} $

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109指考數學乙(補考)試題-非選擇二(3)

二、(3) 已知數列 $ \langle a_n \rangle $ 並不是每一項都是有理數，試求 $ x $ 的值及所對應的公比。

[非選擇題]

答案

$\begin{align*}
&(3) \ 因a_3不是有理數，故x非有理數，得x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}； \\
\\
&① 當x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}； \\
&② 當x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}時，公比q=\frac{x+2}{2x+2}=\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}{1-\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}； \\
\end{align*}$

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