〈數列和級數〉彙整頁面 - 第 6 頁，總計 7 頁

113分科測驗數學甲試題12

坐標空間中,考慮三個平面 $ E_{1}: x + y + z = 7$、 $ E_{2}: x – y + z = 3$、 $ E_{3}: x – y – z = -5$。令 $ E_{1}$ 與 $ E_{2}$ 相交的直線為 $ L_{3}$ ； $ E_{2}$ 與 $ E_{3}$ 相交的直線為 $ L_{1}$ ； $ E_{3}$ 與 $ E_{1}$ 相交的直線為 $ L_{2}$ 。已知三直線 $ L_{1}$ 、$L_{2}$ 、$L_{3}$ 有共同交點,試求此共同交點 $ P $ 的坐標。

[非選擇]

答案

聯立 $\begin{cases}x + y + z = 7\\x - y + z = 3\end{cases}$,兩式相減得 $2y = 4$,$y = 2$。再聯立 $\begin{cases}x - y + z = 3\\x - y - z = -5\end{cases}$,兩式相加得 $2(x - y)= - 2$,把 $y = 2$ 代入得 $x = 1$,再把 $x = 1$,$y = 2$ 代入 $x + y + z = 7$ 得 $z = 4$,所以交點 $P$ 的坐標為 $(1,2,4)$。

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113分科測驗數學甲試題11

設實數 $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{9} $ 是公差為 $ 2 $ 的等差數列 ,其中 $ a_{1}\neq0$ 且 $ a_{3}>0$。若 $\log_{2}a_{3},\log_{2}b,\log_{2}a_{9}$ 三數依序也成等差數列 ,其中 $ b $ 為 $ a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8} $ 其中一數,則 $a_9 =$__________ 。

[選填]

答案

已知$\{a_n\}$是公差$d = 2$的等差數列，則$a_n = a_1 + 2(n - 1)$。由$\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9$成等差數列，得$2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9$，即$b^2 = a_3 a_9$。計算$a_3 = a_1 + 4$，$a_9 = a_1 + 16$，代入$b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)$。因b為$a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$之一，逐一驗證：若$b = a_4 = a_1 + 6$，則$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)$，展開得：$a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}$
此時$a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0$，符合條件。因此，$a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}$。最終答案：$\boxed{\dfrac{25}{2}}$

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113分科測驗數學甲試題10

坐標平面上,設 $ \Gamma $ 為以原點為圓心的圓,$ P $ 為 $ \Gamma $ 與 $ x $ 軸的其中一個交點。已知通過 $ P $ 點且斜率為 $\frac{1}{2}$ 的直線交 $ \Gamma $ 於另一點 $ Q$,且 $ PQ = 1$,則 $ \Gamma $ 的半徑為__________ 。

[選填]

答案

設圓的半徑為 $r$,$P(r,0)$,直線方程為 $y=\frac{1}{2}(x - r)$,即 $x - 2y - r = 0$。由圓心到直線的距離公式 $d=\frac{\vert - r\vert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$,再根據垂徑定理,$(\frac{PQ}{2})^{2}+d^{2}=r^{2}$,即 $(\frac{1}{2})^{2}+\frac{r^{2}}{5}=r^{2}$,解得 $r=\frac{\sqrt{5}}{4}$。

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114學測數學B試題12

已知某等差數列的首項是$1$,末項是$81$,且$9$也在此數列中。設此數列的項數為$n$,其中$n \leq 100$。試選出正確的選項。
(1) $n$為奇數；
(2) $41$必在此等差數列；
(3) 滿足條件的等差數列,其公差都是整數；
(4) 滿足條件的等差數列共有$10$個；
(5) 若$n$為$7$的倍數,則$n = 21$

[多選]

答案

設等差數列公差為$d$,$a_n = a_1 + (n - 1)d$,即$81 = 1 + (n - 1)d$,$d = \frac{80}{n - 1}$,又$9 = 1 + (m - 1)d$,可得$d = \frac{8}{m - 1}$,所以$\frac{80}{n - 1} = \frac{8}{m - 1}$,$n - 1 = 10(m - 1)$。
1. 對於(1),$n - 1 = 10(m - 1)$,$n = 10m - 9$,$n$為奇數,(1)正確。
2. 對於(2),$a_k = 1 + (k - 1)d = 41$,$40=(k - 1)d$,由$d = \frac{80}{n - 1}$,可得$40=(k - 1)\frac{80}{n - 1}$,$n - 1 = 2(k - 1)$,又$n = 10m - 9$,可推出$41$必在此數列,(2)正確。
3. 對於(3),$d = \frac{80}{n - 1}$,$n - 1$是$80$的正約數,$d$不一定是整數,(3)錯誤。
4. 對於(4),$n - 1$是$80$的正約數,$n - 1$取值有限,滿足$n \leq 100$的等差數列個數有限且不為$10$個,(4)錯誤。
5. 對於(5),$n = 10m - 9$,若$n$是$7$的倍數,$10m - 9 = 7s$,$10m = 7s + 9$,經分析可得$n = 21\vee13$時滿足,(5)不一定正確。答案：(1)(2)

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114學測數學B試題14

坐標平面上,給定三點$A(0, 2)$、$B(-1,0)$、$C(4, 0)$。若直線$y = mx$將三角形$ABC$分成面積相等的兩部分,則$m = \underline{○14 – 1}$（化為最簡分數）。

[選填]

答案

$ m = \frac{5}{6} $。

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114學測數學B試題19

19. 已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 $ x $ 小時（$ 0 \leq x \leq 12 $）的 UVI 數值，可用函數 $ f(x) = a\sin(bx) $ 來表示，其中 $ a, b > 0 $。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 $ f(0) = f(12) = 0 $），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 $ a $、$ b $ 之值。（非選擇題，6 分）

[非選擇]

答案

已知：
- $ f(x) = a\sin(bx) $
- $ f(0) = 0 $，$ f(12) = 0 $
- $ f(2) = 4 $

#### 步驟一：由 $ f(12) = 0 $ 求 $ b $

$$
f(12) = a\sin(12b) = 0 \Rightarrow \sin(12b) = 0
\Rightarrow 12b = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}
\Rightarrow b = \frac{n\pi}{12}
$$

又因 $ f(x) $ 在 $ [0,12] $ 上為正（日照時），且為正弦函數，故應為**半個正弦波**，即從 0 上升至最大再下降回 0。

→ 所以週期為 24 小時，但只取前半段 → 半週期為 12 小時
→ 正弦函數在 $ x=6 $ 時達最大值

因此，$ \sin(bx) $ 的週期為 24，即：
$$
\frac{2\pi}{b} = 24 \Rightarrow b = \frac{\pi}{12}
$$

（或直接由 $ 12b = \pi $ 得 $ b = \frac{\pi}{12} $，對應第一個零點）

#### 步驟二：代入 $ f(2) = 4 $

$$
f(2) = a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4
\Rightarrow a = 8
$$

---

### ✅ 答案：
- $ a = 8 $
- $ b = \dfrac{\pi}{12} $

---

### **簡化略解（繁體）：**

由 $ f(12) = 0 $ 且為正弦型，得半週期為 12 小時 ⇒ $ b = \dfrac{\pi}{12} $
代入 $ f(2) = 4 $：
$$
a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow a = 8
$$

**答：** $ a = 8 $，$ b = \dfrac{\pi}{12} $

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113學測數學B試題-08

已知正實數數列$a$,$b$,$c$,$d$,$e$為等比數列,且$a\lt b\lt c\lt d\lt e$,試選出下列為等比數列的選項。
(1) $a$,$-b$,$c$,$-d$,$e$；
(2) $e$,$d$,$c$,$b$,$a$；
(3) $\log a$,$\log b$,$\log c$,$\log d$,$\log e$；
(4) $3^a$,$3^b$,$3^c$,$3^d$,$3^e$；
(5) $abc$,$bcd$,$cde$

[多選]

答案

1. 設原等比數列公比為$q$,$q\gt1$。
- (1)：是等比數列。
- (2)：$\frac{d}{e}=\frac{1}{q}$,$\frac{c}{d}=\frac{1}{q}$,$\frac{b}{c}=\frac{1}{q}$,$\frac{a}{b}=\frac{1}{q}$,是等比數列。
- (3)：$\log b-\log a=\log\frac{b}{a}$,$\log c-\log b=\log\frac{c}{b}$,若$\log\frac{b}{a}=\log\frac{c}{b}$,則$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$,原數列是等比數列,所以$\log a$,$\log b$,$\log c$,$\log d$,$\log e$是等差數列,不是等比數列。
- (4)：$\frac{3^b}{3^a}=3^{b - a}$,$\frac{3^c}{3^b}=3^{c - b}$,$b - a\neq c - b$,不是等比數列。
- (5)：$\frac{bcd}{abc}=\frac{d}{a}=q^3$,$\frac{cde}{bcd}=\frac{e}{b}=q^3$,是等比數列。答案：（1）(2)(5)

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113學測數學B試題-11

某國家過去五年的碳排放總量，由第 1 年的 $ X $ 億公噸二氧化碳當量 (CO2e) 下降至第 5 年的 $ Y $ 億公噸二氧化碳當量 (CO2e)，達到每年平均減碳 5\% 的效益，亦即 $ Y = (1 – 0.05)^4 X $。

將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表，其中
第 $ n $ 年碳排放成長率 $ = \dfrac{(\text{第 } n \text{ 年碳排放總量}) – (\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量})}{\text{第 } n-1 \text{ 年碳排放總量}} $，$ n = 2, 3, 4, 5 $。

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& \text{第 1 年} & \text{第 2 年} & \text{第 3 年} & \text{第 4 年} & \text{第 5 年} \\
\hline
\text{碳排放總量} & X & A & B & C & Y \\
\text{(億公噸 CO2e)} & & & & & \\
\hline
\text{碳排放年成長率} & \diagdown & -0.07 & p & q & r \\
\hline
\end{array}
\]

試選出正確的選項。

(1) $ A = 0.93X $

(2) $ Y \leq 0.8X $

(3) $ \dfrac{-0.07 + p + q + r}{4} = -0.05 $

(4) $ \sqrt[4]{\dfrac{Y}{X}} – 1 = -0.05 $

(5) $ 0.93(1+p)(1+q)(1+r) = (0.95)^4 $

[多選]

答案

$\begin{align*}
&(1) ○：由\frac{A-X}{X}=-0.07得A=0.93X；\\
&(2) ×：計算(1-0.05)^4≈0.815，故Y≈0.815X>0.8X；\\
&(3) ×：平均成長率需用幾何平均數，非算術平均；\\
&(4) ○：由Y=(1-0.05)^4X，得\sqrt[4]{\frac{Y}{X}}-1=0.95-1=-0.05；\\
&(5) ○：由幾何平均得\sqrt[4]{0.93(1+p)(1+q)(1+r)}=0.95，即0.93(1+p)(1+q)(1+r)=0.95^4；\\
\\
&故選(1)(4)(5)。
\end{align*}$

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113學測數學B試題-12

小明寫了一個程式讓機器人在$2×2$的棋盤中移動,如圖所示。每執行一次,程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向,不同方向被選擇的機率均相等,並指示機器人依該方向移動一格,但若選到的方向會跑出棋盤,則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動,假設機器人的初始位置在$A$。令執行程式$n$次後,機器人停留在$A$、$B$、$C$、$D$的機率分別為$a_n$、$b_n$、$c_n$和$d_n$。試選出正確的選項。
(1) $b_1 = \frac{1}{4}$；
(2) $b_2=\frac{1}{8}$；
(3) $a_2+d_2=\frac{3}{4}$；
(4) $b_{99}=c_{99}$；
(5) $a_{100} + d_{100} \gt\frac{ 1}{2}$

[多選]

答案

$\begin{align*}
&(1) ○：b_1=\frac{1}{4}；\\
&(2) ×：計算得b_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}；\\
&(3) ×：a_2=\frac{3}{8}、d_2=\frac{1}{8}，故a_2+d_2=\frac{1}{2}；\\
&(4) ○：由遞迴式及b_1=c_1=\frac{1}{4}，得b_n=c_n，故b_{99}=c_{99}；\\
&(5) ×：推導得a_n+d_n=\frac{1}{2}，故a_{100}+d_{100}=\frac{1}{2}；\\
\\
&故選(1)(4)。
\end{align*}$

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112學測數學B試題-08

某電子看板持續不斷的輪流播放 $A$、$B$ 兩段廣告（$A$、$B$、$A$、$B\cdots$）,每個廣告播放時間皆為 $T$ 分鐘（其中 $T$ 為整數）。某甲經過時剛好開始播放 $A$ 廣告,$30$ 分鐘後,某甲回到該處,看到恰好開始播放 $B$ 廣告。試選出可能是 $T$ 值的選項。
(1) $15$
(2) $10$
(3) $8$
(4) $6$
(5) $5$

[多選]

答案

$30$ 分鐘後從 $A$ 廣告開始播放變為 $B$ 廣告開始播放,說明 $30$ 分鐘是 $2T$ 的整數倍加上 $T$,即 $30 = (2n + 1)T$,$n$ 為非負整數。分別代入選項：(1) $30=(2n + 1)\times15$,$n = \frac{1}{2}$ 不符合；(2) $30=(2n + 1)\times10$,$n = 1$ 符合；(3) $30=(2n + 1)\times8$,$n=\frac{11}{8}$ 不符合；(4) $30=(2n + 1)\times6$,$n = 2$ 符合；(5) $30=(2n + 1)\times5$,$n=\frac{5}{2}$ 不符合。答案：(2)(4)

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

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