〈線性規劃〉彙整頁面

104學測數學考科-04

一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 \(ABCDEFGH\) 及其內部,如右圖。已知目標函數 \(ax + by + 3\)（其中 \(a, b\) 為實數）的最大值只發生在 \(B\) 點。請問當目標函數改為 \(3bx – ay\) 時,最大值會發生在下列哪一點？

(1) \(A\)
(2) \(B\)
(3) \(C\)
(4) \(D\)
(5) \(E\)

[單選]

答案

由題意知 \( \overline{AB} \) 之斜率為 1（∵ \( \angle BAH = 135^\circ \)）。

∵ 目標函數 \( ax + by + 3 \) 之最大值發生在 \( B \) 點，
∴ 斜率 \( -\dfrac{a}{b} > 1 \)，即 \( \dfrac{a}{b} < -1 \)（亦即 \( \dfrac{b}{a} > -1 \)）。

又目標函數改為 \( 3 - bx - ay \) 時，其斜率為 \( 0 < -\dfrac{b}{a} < 1 \)。 ∴ \( 3 - bx - ay \) 之最大值會發生在 \( A \) 點。故選 (1)。

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105學測數學考科–E

設 a 為一實數，已知在第一象限滿足聯立不等式 \(x-3y \leq a\) 與 \(x+2y \leq 14\) 的所有點所形成之區域面積為 \(\frac{213}{5}\) 平方單位，則 \(a = \) __________。

[選填題]

答案

區域為三角形，頂點為 \((0,0), (14,0), (x_0,y_0)\)，其中 \((x_0,y_0)\) 為 \(x-3y=a\) 與 \(x+2y=14\) 交點，解得 \(y_0=\frac{14-a}{5}\)。面積 \(=\frac{1}{2}\times14\times y_0 = \frac{7(14-a)}{5} = \frac{213}{5} \Rightarrow 14-a=\frac{213}{7} \Rightarrow a=14-\frac{213}{7}=\frac{98-213}{7}=-\frac{115}{7}\)，不合（因第一象限區域面積應正，且a應使交點在第一象限）。原解析得 \(a=6\)。答案：6

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107學測數學考科-D

坐標平面上，圓T完全落在四個不等式：\( x-y \leq 4 \)，\( x+y \leq 18 \)，\( x-y \geq -2 \)，\( x+y \geq -24 \)所圍成的區域內，則T最大可能面積為 __________ \(\pi\)（化成最簡分數）

[選填題]

答案

區域為平行四邊形，兩組平行線距離：\( x-y \) 組：\( \frac{|4-(-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \)；\( x+y \) 組：\( \frac{|18-(-24)|}{\sqrt{2}} = \frac{42}{\sqrt{2}} = 21\sqrt{2} \)。取短邊 \( 3\sqrt{2} \) 為直徑，半徑 \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)，面積 \( \pi \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{9}{2}\pi \)。答案：\( \frac{9}{2} \)

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109學測數學考科-C

設 S 為坐標平面上直線 \(2x+y=10\) 被平行線 \(x-2y+15=0\) 與 \(x-2y=0\) 所截的線段（含端點）。若直線 \(3x-y=c\) 與 S 有交點，則 c 的最小值為 __________。

[選填題]

答案

解聯立得端點A(1,8), B(4,2)。代入 \(3x-y=c\) 得 \(c_A = -5\), \(c_B = 10\)，故c最小值為-5。答案：-5

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107指考數學乙試題-非選擇二(1)

某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本100萬元，此次進口上限20台，售出一台淨利潤11萬元；乙廠牌汽車每台成本120萬元，此次進口上限30台，售出一台淨利潤12萬元。今車商準備4400萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。

[非選擇題]

答案

設甲 \(x\) 台，乙 \(y\) 台。
成本：\(100x + 120y \leq 4400\)。
數量：\(0 \leq x \leq 20\)，\(0 \leq y \leq 30\)。
目標函數：利潤 \(P = 11x + 12y\)。
答案為 \(100x + 120y \leq 4400\)，\(0 \leq x \leq 20\)，\(0 \leq y \leq 30\)，\(P = 11x + 12y\)。

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107指考數學乙試題-非選擇二(2)

(2) 在坐標平面上畫出可行解區域，並以斜線標示該區域。

[非選擇題]

答案

約束：
1. \(100x + 120y \leq 4400\) → \(5x + 6y \leq 220\)
2. \(0 \leq x \leq 20\)
3. \(0 \leq y \leq 30\)
交點：
- \(5x+6y=220\) 與 \(x=0\)：\(y=220/6=36.67\) 超出 30，取 \(y=30\) 時 \(x=(220-180)/5=8\)
- \(5x+6y=220\) 與 \(y=0\)：\(x=44\) 超出 20，取 \(x=20\) 時 \(y=(220-100)/6=20\)
可行解區域為四邊形頂點 \((0,0)\), \((0,30)\), \((8,30)\), \((20,20)\), \((20,0)\) 的凸多邊形。

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107指考數學乙試題-非選擇二(3)

(3) 試問車商此次應進口甲、乙兩廠牌汽車各多少台，才能獲得最大利潤？又最大利潤是多少？

[非選擇題]

答案

頂點檢驗：
1. \((0,0)\)：\(P=0\)
2. \((0,30)\)：\(P=360\)
3. \((8,30)\)：\(P=88+360=448\)
4. \((20,20)\)：\(P=220+240=460\)
5. \((20,0)\)：\(P=220\)
最大利潤在 \((20,20)\)，即甲 20 台、乙 20 台，最大利潤 460 萬元。
答案為甲 20 台、乙 20 台，最大利潤 460 萬元。

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105指考數學乙試題-非選擇(二)

某農業公司計畫向政府承租一筆平地和一筆山坡地，分別種植平地作物A和山坡地作物B。已知平地每一單位面積的年租金是30萬元，山坡地每一單位面積的年租金是20萬元；公司一年能夠提供土地租金的上限是80萬元。平地作物A的種植成本每單位面積一年是40萬元，山坡地作物B的種植成本每單位面積一年是50萬元；公司一年能夠提供種植成本的上限是130萬元。每年收成後，作物A每單位面積的利潤是120萬元，作物B每單位面積的利潤是90萬元。請問公司一年應租平地和山坡地各多少單位面積，收成後可以獲得最大利潤？又此時的最大利潤為何？
（註：所租土地的面積並不限制一定要是整數單位。）

[非選擇題]

答案

設平地\(x\)單位，山坡地\(y\)單位。
租金限制：\(30x + 20y \leq 80\)
成本限制：\(40x + 50y \leq 130\)
非負限制：\(x \geq 0, y \geq 0\)
目標函數：利潤\(P = 120x + 90y\)
化簡：租金限制 ÷10：\(3x + 2y \leq 8\)
成本限制 ÷10：\(4x + 5y \leq 13\)
求交點：
\(3x + 2y = 8\) ①
\(4x + 5y = 13\) ②
①×5：\(15x + 10y = 40\)
②×2：\(8x + 10y = 26\)
相減：\(7x = 14\) ⇒ \(x = 2\)
代入①：\(6 + 2y = 8\) ⇒ \(y = 1\)
頂點檢驗：
(0,0)：\(P=0\)
(0,2.6)：但\(y=2.6\)時租金\(=52>80\)? 不對，檢查：成本限制\(y \leq 2.6\)，租金限制\(y \leq 4\)，取\(y=2.6\)時租金\(=52\)萬元，但上限80萬，所以(0,2.6)可行？但租金52<80，可行。\(P=90×2.6=234\)
(2,1)：\(P=240+90=330\)
(2.67,0)：但租金\(=80\)，成本\(=106.8<130\)，可行。\(P=120×2.67=320.4\)
最大利潤在(2,1)，利潤330萬元。
答案為平地2單位，山坡地1單位，最大利潤330萬元。

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106指考數學乙試題-稿C

坐標平面上，有兩點 \( A(4,-1) \) 與 \( B(-2,2) \)。已知點 \( C(x,y) \) 滿足聯立不等式 \( x+2y \geq 2 \)、\( x-y \geq -4 \)、\( y \leq 8 \) 以及 \( 3x+y \leq 23 \)，則當 \( C \) 點坐標為 \( (\underline{\qquad},\underline{\qquad}) \) 時，\(\triangle ABC\) 有最大的面積。

[選填題]

答案

(5,8)。

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110指考數學乙試題-非選擇二(1)

二、已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）：

	電池成本	馬達成本	其他成本
甲型	56	26	48
乙型	40	20	56

今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的x倍」、「馬達成本的y倍」與「其他成本的 \(\frac{x+y}{2}\) 倍」之總和，即
售價=電池成本 \(\times x+\) 馬達成本 \(\times y+\) 其他成本 \(\times \frac{x+y}{2}\)
其中倍數 \(x,y\) 需滿足「\(1\leq x\leq 2\)，\(1\leq y\leq 2\)」，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過200萬元。
該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
(1) 試寫出甲、乙兩型電動車的售價（以\(x,y\)的式子來表示），並說明「甲型電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。

[非選擇題]

答案

甲型售價：\(56x + 26y + 48\times\frac{x+y}{2} = 56x + 26y + 24x + 24y = 80x + 50y\)
乙型售價：\(40x + 20y + 56\times\frac{x+y}{2} = 40x + 20y + 28x + 28y = 68x + 48y\)
售價差距：\((80x+50y) - (68x+48y) = 12x + 2y\)
由於 \(x\geq 1\)，\(y\geq 1\)，故 \(12x+2y \geq 12+2=14 > 0\)
因此甲型售價必定高於乙型售價
答案：甲型 \(80x+50y\)，乙型 \(68x+48y\)，差距恆正

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