線性規劃

條件：
1. \(1\leq x\leq 2\)
2. \(1\leq y\leq 2\)
3. 甲型售價 \(\leq 200\)：\(80x+50y\leq 200\) ⇒ \(8x+5y\leq 20\)
4. 乙型售價 \(\leq 200\)：\(68x+48y\leq 200\) ⇒ \(17x+12y\leq 50\)
在 \(1\leq x\leq 2\)，\(1\leq y\leq 2\) 範圍內，畫出四條直線圍成的可行區域
答案：以\((1,1)\)、\((1,2)\)、\((2,1)\)等點檢驗，找出滿足所有不等式的區域

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$\begin{align*}
&(3) 目標函數（甲、乙售價差距）：\\
&(80x + 50y) - (68x + 48y) = 12x + 2y。\\
\\
&頂點法計算：\\
&\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
(x,y) & (1,1) & \left(\frac{15}{8},1\right) & \left(\frac{5}{4},2\right) & (1,2) \\
\hline
12x + 2y & 14 & 24.5 & 19 & 16 \\
\hline
\end{array}\\
\\
&故當x=\frac{15}{8},\ y=1時，售價差距最大值為24.5萬元。
\end{align*}$

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\begin{align*}
&\boxed{【頂點法】} \\
&因為最大值必發生在頂點，我們將可行解區的頂點代入目標函數： \\
\\
&\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
(x, y) & (0, 2) & (3, 4) & (4, 0) & (0, 0) \\
\hline
ax + by & 2b & 3a + 4b & 4a & 0 \\
\hline
\end{array} \\
\\
&依題意，取得最大值的點為(3,4)，故 \ 3a + 4b = 12 \，且： \\
&\begin{cases}
3a + 4b = 12 > 2b \\
3a + 4b = 12 > 4a \\
3a + 4b = 12 > 0
\end{cases} \implies \begin{cases}
b < 6 \\ a < 3 \end{cases} \\ \\ &我們都可以將 \ a \ 用 \ 3a + 4b = 12 \ 代換：\ a = 4 - \frac{4b}{3}，故： \\ &a < 3 \implies 4 - \frac{4b}{3} < 3 \implies b > \frac{3}{4} \\
\\
&(1) \ 由上知 \ 3a + 4b = 12 \ ； \\
\\
&(2)(3)(4)(5)： \\
&-\frac{a}{b} = -\frac{4 - \frac{4b}{3}}{b} = -\frac{4}{b} + \frac{4}{3}，而 \ \frac{3}{4} < b < 6，所以： \\ &-\frac{16}{3} < -\frac{4}{b} < -\frac{2}{3} \implies -4 < -\frac{4}{b} + \frac{4}{3} < \frac{2}{3}，故 \ -4 < -\frac{a}{b} < \frac{2}{3}，因此(2)錯誤，(3)正確； \\ \\ &並得到 \ \frac{3}{4} < b < 6，所以(4)錯誤，(5)正確。 \end{align*}

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設重機 \(x\) 部，汽車 \(y\) 部。
經費限制：\(25x + 60y \leq 5400\)。
停車位限制：\(\frac{x}{2} + y \leq 100\)（因每格停 2 部重機或 1 部汽車）。
非負限制：\(x \geq 0, y \geq 0\)。
目標函數：利潤 \(P = 2.3x + 5y\)（萬元）。
答案為 \(25x + 60y \leq 5400\)，\(\frac{x}{2} + y \leq 100\)，\(x \geq 0\)，\(y \geq 0\)，\(P = 2.3x + 5y\)。

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約束條件：
1. \(25x + 60y \leq 5400\) → \(5x + 12y \leq 1080\)
2. \(\frac{x}{2} + y \leq 100\) → \(x + 2y \leq 200\)
3. \(x \geq 0, y \geq 0\)
交點：
- \(x+2y=200\) 與 \(5x+12y=1080\) 解聯立：\(5(200-2y)+12y=1080\) → \(1000-10y+12y=1080\) → \(2y=80\) → \(y=40\), \(x=120\)
- \(x+2y=200\) 與 \(x=0\)：\(y=100\)
- \(5x+12y=1080\) 與 \(y=0\)：\(x=216\)
可行解區域為四邊形頂點 \((0,0)\), \((0,90)\), \((120,40)\), \((200,0)\) 的凸多邊形區域。

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頂點檢驗法：
1. \((0,0)\)：\(P=0\)
2. \((0,90)\)：\(P=2.3\times 0+5\times 90=450\)
3. \((120,40)\)：\(P=2.3\times 120+5\times 40=276+200=476\)
4. \((200,0)\)：\(P=2.3\times 200+5\times 0=460\)
最大利潤在 \((120,40)\)，即重機 120 部，汽車 40 部，最大淨利潤 476 萬元。
答案為重機 120 部，汽車 40 部，最大淨利潤 476 萬元。

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1. 條件(一)：\(x≤15\)；
2. 條件(二)：\(x+y≤24\)；
3. 條件(三)：\(x≤3y\)且\(y≤2x\)；
4. 且面積非負：\(x≥0\)，\(y≥0\)。答案：\(\begin{cases}x≤15\\x+y≤24\\x≤3y\\y≤2x\\x≥0\\y≥0\end{cases}\)

好的，我們先列出所有條件，再用線性規劃求解。

---

## **1. 列出限制條件**

題目給定：
1. \( x \le 15 \)
2. \( x + y \le 24 \)
3. \( x \le 3y \) 且 \( y \le 2x \)
4. \( x \ge 0, \quad y \ge 0 \) （面積不能為負）

---

## **2. 化簡條件 3**

條件 3 拆開：
\[
x \le 3y \quad \Rightarrow \quad y \ge \frac{x}{3}
\]
\[
y \le 2x
\]
所以：
\[
\frac{x}{3} \le y \le 2x
\]

---

## **3. 聯立所有條件**

我們有：
\[
\begin{cases}
0 \le x \le 15 \\
x + y \le 24 \\
y \ge \frac{x}{3} \\
y \le 2x
\end{cases}
\]

---

## **4. 找可行解區域的頂點**

**(1) 交點 \(x=15\) 與 \(x+y=24\)**
\(y = 9\)
檢查 \(y \ge \frac{15}{3} = 5\) ✅
檢查 \(y \le 2\times 15 = 30\) ✅
⇒ 頂點 \(A = (15, 9)\)

**(2) 交點 \(x=15\) 與 \(y=2x\)**
\(y = 30\)，但 \(x+y = 45 > 24\) 不行，所以此點不在 \(x+y \le 24\) 內，不考慮。

**(3) 交點 \(x+y=24\) 與 \(y=2x\)**
代入：\(x + 2x = 24 \Rightarrow 3x = 24 \Rightarrow x=8, y=16\)
檢查 \(x \le 15\) ✅
檢查 \(y \ge \frac{8}{3} \approx 2.67\) ✅
⇒ 頂點 \(B = (8, 16)\)

**(4) 交點 \(x+y=24\) 與 \(y = \frac{x}{3}\)**
代入：\(x + \frac{x}{3} = 24 \Rightarrow \frac{4x}{3} = 24 \Rightarrow x = 18\)
但 \(x=18 > 15\)，所以此交點不在 \(x \le 15\) 內，不考慮。

**(5) 交點 \(x=15\) 與 \(y = \frac{x}{3}\)**
\(y = 5\)，檢查 \(x+y = 20 \le 24\) ✅
⇒ 頂點 \(C = (15, 5)\)

**(6) 交點 \(y = \frac{x}{3}\) 與 \(y = 2x\)**
只有 \(x=0, y=0\)，但那是原點 \(O=(0,0)\)。

**(7) 交點 \(y=2x\) 與 \(x=0\)**
\( (0,0) \) 重複。

**(8) 交點 \(x=0\) 與 \(y=0\)** 原點。

但原點利潤最低，顯然不是最大。

---

我們還要檢查 \(x+y=24\) 與 \(x=15\) 之間是否還有其他頂點受 \(y \ge x/3\) 與 \(y \le 2x\) 限制。
實際上，在 \(x=15\) 時，\(y\) 範圍是 \(5 \le y \le 9\)（因為 \(x+y \le 24 \Rightarrow y \le 9\)，且 \(y \ge 5\) 來自 \(y \ge x/3\)）。
所以 \(x=15\) 邊上兩個端點：\((15,5)\) 和 \((15,9)\) 已取。

在 \(x<15\) 時，最大 \(y\) 受 \(x+y=24\) 與 \(y \le 2x\) 限制，交點是 \(B=(8,16)\)。 檢查 \(y \ge x/3\)：\(16 \ge 8/3\) ✅。 --- 所以主要頂點為： \[ O=(0,0), \quad C=(15,5), \quad A=(15,9), \quad B=(8,16) \] --- ## **5. 目標函數** 利潤： \[ P = 6x + 7y \ (\text{萬元}) \] 代入： - \(O\): \(P=0\) - \(C=(15,5)\): \(P=6\times 15 + 7\times 5 = 90+35=125\) - \(A=(15,9)\): \(P=90+63=153\) - \(B=(8,16)\): \(P=48+112=160\) 最大利潤在 \(B=(8,16)\)，\(P=160\) 萬元。 --- ## **6. 檢查是否還有更大點** 在 \(x+y=24\) 上，\(y=24-x\)， \(P=6x+7(24-x) = 168 - x\)，隨 \(x\) 減小而增大，但必須滿足 \(y \le 2x \Rightarrow 24-x \le 2x \Rightarrow 24 \le 3x \Rightarrow x \ge 8\)， 且 \(y \ge x/3 \Rightarrow 24-x \ge x/3 \Rightarrow 72-3x \ge x \Rightarrow 72 \ge 4x \Rightarrow x \le 18\)（但 \(x \le 15\) 更嚴格）。 所以 \(x\) 範圍 \(8 \le x \le 15\) 在 \(x+y=24\) 上。 \(P=168-x\) 在 \(x=8\) 最大 \(160\)，在 \(x=15\) 時 \(153\)。 所以 \(B\) 點確實最大。 --- **最終答案：** \[ \boxed{160} \] 最大利潤 160 萬元，此時 \(x=8\) 公畝，\(y=16\) 公畝。

設 \( A(6n, 0) \)、\( B(0, 3) \)，直線 \( AB \) 的方程為 \( y = -\frac{1}{2n}x + 3 \)，\( T_n \) 是 \( \triangle OAB \) 內部（含邊界）的區域。

統計 \( T_n \) 內整數點的個數 \( a_n \)：
- 當 \( y=0 \) 時，\( x \) 可取 \( 0 \sim 6n \)，共 \( 6n+1 \) 個點；
- 當 \( y=1 \) 時，代入直線方程得 \( x \leq 4n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 4n \)，共 \( 4n+1 \) 個點；
- 當 \( y=2 \) 時，代入得 \( x \leq 2n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 2n \)，共 \( 2n+1 \) 個點；
- 當 \( y=3 \) 時，僅有 \( (0, 3) \)，共 \( 1 \) 個點。

因此：
\[
a_n = (6n+1) + (4n+1) + (2n+1) + 1 = 12n + 4
\]

求極限：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{12n + 4}{n} = 12
\]

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