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複數運算與幾何意義

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108指考數學甲試題–C

設\(z\)為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為\(z\)、\(0\)、\(z + 5 – 2\sqrt{3}i\)（其中\(i=\sqrt{-1}\)），則\(z\)的實部為 （化成最簡分數）。

[選填題]
答案

在複數平面中，正六邊形相鄰頂點與原點所成角度為\(\frac{\pi}{3}\)，且相鄰頂點間距離相等。
已知正六邊形依順時針方向三個頂點為\(z\)、\(0\)、\(z + 5 - 2\sqrt{3}i\)，所以\(\vert z\vert=\vert z + 5 - 2\sqrt{3}i\vert\)，且向量\(\overrightarrow{0z}\)與\(\overrightarrow{0(z + 5 - 2\sqrt{3}i)}\)的夾角是\(\frac{\pi}{3}\)。
設\(z = x + yi\)（\(x,y\in R\)），則\(\vert z\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)，\(\vert z + 5 - 2\sqrt{3}i\vert=\sqrt{(x + 5)^{2}+(y - 2\sqrt{3})^{2}}\)。
由\(\vert z\vert=\vert z + 5 - 2\sqrt{3}i\vert\)可得：\(x^{2}+y^{2}=(x + 5)^{2}+(y - 2\sqrt{3})^{2}\)，
展開式子：\(x^{2}+y^{2}=x^{2}+10x + 25 + y^{2}-4\sqrt{3}y + 12\)，
化簡得到：\(10x-4\sqrt{3}y + 37 = 0\) ①。
又因為向量\(\overrightarrow{0z}=(x,y)\)，\(\overrightarrow{0(z + 5 - 2\sqrt{3}i)}=(x + 5,y - 2\sqrt{3})\)，
根據向量夾角公式\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\overrightarrow{0z}\cdot\overrightarrow{0(z + 5 - 2\sqrt{3}i)}}{\vert\overrightarrow{0z}\vert\vert\overrightarrow{0(z + 5 - 2\sqrt{3}i)}\vert}\)，
且\(\vert\overrightarrow{0z}\vert=\vert\overrightarrow{0(z + 5 - 2\sqrt{3}i)}\vert\)，所以\(\overrightarrow{0z}\cdot\overrightarrow{0(z + 5 - 2\sqrt{3}i)}=\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{0z}\vert^{2}\)。
即\(x(x + 5)+y(y - 2\sqrt{3})=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})\)，
展開式子：\(x^{2}+5x + y^{2}-2\sqrt{3}y=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}\)，
移項化簡得：\(x^{2}+y^{2}+10x - 4\sqrt{3}y = 0\) ②。
將①式\(10x-4\sqrt{3}y=-37\)代入②式得：\(x^{2}+y^{2}-37 = 0\)，即\(y^{2}=37 - x^{2}\)。
把\(y^{2}=37 - x^{2}\)代入①式：\(10x-4\sqrt{3}\sqrt{37 - x^{2}}+37 = 0\)，
移項得：\(4\sqrt{3}\sqrt{37 - x^{2}}=10x + 37\)，
兩邊平方：\(48\times(37 - x^{2})=(10x + 37)^{2}\)，
展開得：\(1776-48x^{2}=100x^{2}+740x + 1369\)，
移項整理得：\(148x^{2}+740x - 407 = 0\)，
對於一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a = 148\)，\(b = 740\)，\(c=-407\)），
由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)可得：
\(x=\frac{-740\pm\sqrt{740^{2}-4\times148\times(-407)}}{2\times148}=\frac{-740\pm\sqrt{547600 + 240696}}{296}=\frac{-740\pm\sqrt{788296}}{296}=\frac{-740\pm888}{296}\)，
解得\(x_1=\frac{-740 + 888}{296}=\frac{148}{296}=\frac{1}{2}\)，\(x_2=\frac{-740 - 888}{296}=\frac{-1628}{296}=-\frac{7}{2}\)。
因為正六邊形順時針排列，經檢驗\(x = -\frac{7}{2}\)符合條件。
所以\(z\)的實部為\(-\frac{7}{2}\)。 報錯
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109指考數學甲(補考)試題-05

下列選項中，試選出與\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)相乘之後會得到實數的選項。(註：\(i=\sqrt{-1}\))
(1)\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)
(2)\(\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7}\)
(3)\(-\sin\frac{5\pi}{14}+i\cos\frac{5\pi}{14}\)
(4)\(\sin\frac{\pi}{7}+i\cos\frac{\pi}{7}\)
(5)\(\sin\frac{\pi}{7}-i\cos\frac{\pi}{7}\)

[多選題]
答案

根据复数乘法的运算法则\((a + bi)(c + di)=(ac - bd)+(ad + bc)i\)。
(1)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})=\cos^{2}\frac{\pi}{7}-\sin^{2}\frac{\pi}{7}+2i\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}\)，不是实数，(1)错误。
(2)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7})=\cos^{2}\frac{\pi}{7}+\sin^{2}\frac{\pi}{7}=1\)，是实数，(2)正确。
(3)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(-\sin\frac{5\pi}{14}+i\cos\frac{5\pi}{14})=-\cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{14}-\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{14}+i(\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{14}-\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{14})=-\sin(\frac{\pi}{7}+\frac{5\pi}{14})+i\cos(\frac{\pi}{7}+\frac{5\pi}{14})=-\sin\frac{\pi}{2}+i\cos\frac{\pi}{2}=-1\)，是实数，(3)正确。
(4)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\sin\frac{\pi}{7}+i\cos\frac{\pi}{7})=\cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+i(\cos^{2}\frac{\pi}{7}+\sin^{2}\frac{\pi}{7})=i\)，不是实数，(4)错误。
(5)\((\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7})(\sin\frac{\pi}{7}-i\cos\frac{\pi}{7})=\cos\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+i(\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}-\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7})=\sin\frac{2\pi}{7}-i\cos\frac{2\pi}{7}\)，不是实数，(5)错误。
答案为(2)(3)。 報錯
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109指考數學甲試題-04

已知\(z_{1}\)，\(z_{2}\)為兩個非零複數，且\(\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert\)，則\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)的實部為？
(1)\(0\)
(2)\(\frac{1}{2}\)
(3)\(1\)
(4)\(-\frac{1}{2}\)
(5)\(-1\)

[單選題]
答案
已知\(\vert z_{1}+z_{2}\vert=\vert z_{1}-z_{2}\vert\)，兩邊平方得\((z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}+z_{2}})=(z_{1}-z_{2})(\overline{z_{1}-z_{2}})\)。 即\((z_{1}+z_{2})(\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}})=(z_{1}-z_{2})(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}})\)。 展開得\(z_{1}\overline{z_{1}}+z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}=z_{1}\overline{z_{1}}-z_{1}\overline{z_{2}}-z_{2}\overline{z_{1}}+z_{2}\overline{z_{2}}\)。 化簡得\(z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}=0\)。 設\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=x+yi\)（\(x,y\in R\)），則\(z_{1}=(x + yi)z_{2}\)，代入\(z_{1}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{z_{1}}=0\)得： \((x + yi)z_{2}\overline{z_{2}}+z_{2}\overline{(x + yi)z_{2}}=0\)，\((x + yi)\vert z_{2}\vert^{2}+z_{2}\overline{z_{2}}(x - yi)=0\)，\(2x\vert z_{2}\vert^{2}=0\)。 因為\(z_{2}\neq0\)，所以\(x = 0\)，即\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)的實部為\(0\)，答案為(1)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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109指考數學甲試題-07

在複數平面上，設\(O\)為原點，且\(A\)、\(B\)分別表示坐標為複數\(z\)、\(z + 1\)的點。已知點\(A\)、點\(B\)都在以\(O\)為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。
(1)直線\(AB\)與實數軸平行
(2)\(\triangle OAB\)為直角三角形
(3)點\(A\)在第二象限
(4)\(z^{3}=1\)
(5)坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上

[多選題]
答案
已知\(\vert z\vert = 1\)，\(\vert z + 1\vert = 1\)，設\(z=x+yi\)，\(x,y\in R\)。 由\(\vert z\vert = 1\)得\(x^{2}+y^{2}=1\)；由\(\vert z + 1\vert = 1\)得\((x + 1)^{2}+y^{2}=1\)，即\(x^{2}+2x + 1+y^{2}=1\)，把\(x^{2}+y^{2}=1\)代入得\(2x=-1\)，\(x=-\frac{1}{2}\)，\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)。 (1) \(A(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(B(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，直線\(AB\)與實數軸平行，(1)正確。 (2) \(\overrightarrow{OA}=(-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2})\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\neq0\)，\(\triangle OAB\)不是直角三角形，(2)錯誤。 (3) \(z=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，點\(A\)可能在第二象限或第三象限，(3)錯誤。 (4) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(z^{3}=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}=1\)，(4)正確。 (5) 若\(z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)；若\(z=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，\(\vert 1 + z\vert=\vert\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\vert = 1\)，所以坐標為\(1 + z\)的點也在同一單位圓上，(5)正確。答案為(1)(4)(5)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
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110指考數學甲試題-08

已知\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？
(1)\((z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})\)
(2)\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}\)
(3)\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}\)
(4)\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)
(5)\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)

[多選]
答案

在複數平面上，若\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)對應點構成平行四邊形，則\(z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}\) ，即\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0\)，\(0\)是實數，(2)正確。
對於(1)，在平行四邊形中，\((z_{1}-z_{3})\)與\((z_{2}-z_{4})\)是平行四邊形的兩條對角線向量，它們的乘積不一定是實數；
對於(3)，\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2(z_{2}+z_{4})\)不一定是實數；
對於(4)，\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)不一定是實數；
對於(5)，由\(z_{1}-z_{3}\)與\(z_{2}-z_{4}\)是平行四邊形的對角線向量，\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)不一定是實數。答案為(2)。 報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-05

考慮實係數多項式 \(f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b\)。已知方程式 \(f(x)=0\) 有虛根 \(1+2i\) （其中 \(i=\sqrt{-1}\)），試選出正確的選項。
(1) \(1-2i\) 也是 \(f(x)=0\) 的根
(2) \(a, b\) 皆為正數
(3) \(f'(2.1)<0\)
(4) 函數 \(y=f(x)\) 在 \(x=1\) 有局部極小值
(5) \(y=f(x)\) 圖形反曲點的 \(x\) 坐標皆大於0

[多選]
答案

選項（1）：
實係數多項式虛根成共軛對，\(1 + 2i\)是根，則\(1 - 2i\)必為根，正確。
選項（2）：
由\((x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = x^2 - 2x + 5\)，對\(f(x)\)作多項式長除法得餘式0，可得\(a = -26\)，\(b = -60\)，非正數，錯誤。
選項（3）：\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x - 26\)，計算\(f'(2.1)\)：\(4(2.1)^3 - 12(2.1)^2 - 4(2.1) - 26 < 0\)，正確。 選項（4）：\(f'(1) = 4 - 12 - 4 - 26 = -38 \neq 0\)，\(x = 1\)非極值點，錯誤。 選項（5）：\(f''(x) = 12x^2 - 24x - 4\)，令\(f''(x) = 0\)，解\(x = \frac{24 \pm \sqrt{768}}{24} 未必大於 0\)，錯誤。 報錯
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112分科測驗數學甲考科試題-08

複數平面上，設 $\overline{z}$ 代表複數 z 的共軛複數，且 i = \(\sqrt{-1}\)。試選出正確的選項。
(1) 若 z = 2i ，則 \(z^3 = 4i\overline{z}\)
(2) 若非零複數 α 滿足 \(α^3 = 4i\overline{\alpha}\) ，則 \(|α| = 2\)
(3) 若非零複數 α 滿足 \(α^3 = 4i\overline{\alpha}\) 且令 β = iα ，則 β\(^3\) = 4i$\overline{\beta}$
(4) 滿足 \(z^3 = 4i\overline{z}\) 的所有非零複數 z 中，其主輻角的最小可能值為 \(\frac{\pi}{6}\)
(5) 恰有 3 個相異非零複數 z 滿足 \(z^3 = 4i\overline{z}\)

[多選]
答案

選項（1）：\(z = 2i\)，\(z^3 = (2i)^3 = -8i\)；\(4i\overline{z} = 4i(-2i) = 8\)，\(-8i \neq 8\)，錯誤。選項（2）：
設\(\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，代入\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，取模得\(r^3 = 4r\)（\(r \neq 0\)），解得\(r = 2\)，即\(|\alpha| = 2\)，正確。選項（3）：\(\beta = i\alpha\)，則\(\beta^3 = (i\alpha)^3 = -i\alpha^3\)。由\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，得\(\beta^3 = -i \cdot 4i\overline{\alpha} = 4\overline{\alpha}\)。又\(4i\overline{\beta} = 4i\overline{i\alpha} = 4\overline{\alpha}\)，故\(\beta^3 = 4i\overline{\beta}\)，正確。選項（4）：
由\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，\(|\alpha| = 2\)，代入三角形式解得主輻角最小為\(\frac{\pi}{8}\)（非\(\frac{\pi}{6}\)），錯誤。選項（5）：
方程\(z^3 = 4i\overline{z}\)兩邊乘z得\(z^4 = 16i\)，16i的四次方根有4個，錯誤。
最終答案：\(\boxed{(2)(3)}\) 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題05

設 \( f (x) \) 為 三次 實 係 數 多 項 式。已知 \( f (−2 − 3i) = 0\)（其中 \( i=\sqrt{-1} \)）,且 \( f (x) \) 除以 \( x^{2}+x – 2\) 的餘式為 18 。試選出正確 的 選項。
(1) \( f (2 + 3i) = 0\)
(2) \( f (−2) = 18\)
(3) \( f (x) \) 的三次項係數為負
(4) \( f (x) = 0\) 恰有 一 正實根
(5) \( y = f (x) \) 圖形的對稱中心在第 一 象 限

[多選]
答案

(1) 實系數多項式的虛根成對出現,所以 \(f (-2 + 3i) = 0\),(1) 錯
(2) \(x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)\),令 \(f(x)=(x^{2}+x - 2)q(x)+18\),則 \(f(-2)=18\),(2) 對；
(3) $令f(x)=[x-(-2-3i)][x-(-2+3i)](ax+b)=(x^2+4x+13)(px+q)\\
\because f(-2)=18=f(1)~~x=-2,1代入上式\\
解得p=-\frac{1}{3},q=\frac{4}{3}$,(3) 對；
(4) $by(3),可令px+q=0,解得第三根x=4$,(4) 對；
(5) 代對稱中心公式 \((-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))\),即可判定,(5) 錯。
答案是(2)(3)(4)。 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題08

設z為非零複數，且設\(\alpha = |z|\)、\(\beta\)為z的輻角，其中\(0 \leq \beta \lt 2\pi\)（其中\(\pi\)為圓周率）。
對任一正整數n，設實數\(x_{n}\)與\(y_{n}\)分別為\(z^{n}\)的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若\(\alpha = 1\)且\(\beta = \frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = x_{3}\)
(2) 若\(y_{3} = 0\)，則\(y_{6} = 0\)
(3) 若\(x_{3} = 1\)，則\(x_{6} = 1\)
(4) 若數列\(\{y_{n}\}\)收斂，則\(\alpha \leq 1\)
(5) 若數列\(\{x_{n}\}\)收斂，則數列\(\{y_{n}\}\)也收斂

[多選]
答案

選項（1）
由棣美弗定理，\(z = \cos\frac{3\pi}{7} + i\sin\frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = \cos\left(10 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}\)，\(x_3 = \cos\left(3 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{9\pi}{7}\)。
因\(\cos\frac{2\pi}{7} \neq \cos\frac{9\pi}{7}\)，故\(x_{10} \neq x_3\)，（1）錯誤。
選項（2）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(y_3 = 0 \implies \sin3\beta = 0\)，即\(3\beta = k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），\(\beta = \frac{k\pi}{3}\)。
代入\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)，得\(6\beta = 2k\pi\)，此時\(\sin6\beta = 0\)，故\(y_6 = 0\)，（2）正確。
選項（3）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(x_3 = 1 \implies \alpha^3\cos3\beta = 1\)。
但\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)中，\(\alpha^6\cos6\beta\)未必等於1。例如，取\(\alpha = \sqrt[3]{2}\)，\(\cos3\beta = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\)，此時\(\cos6\beta\)無法保證\(\alpha^6\cos6\beta = 1\)，（3）錯誤。
選項（4）\(y_n = \alpha^n\sin(n\beta)\)。若\(\alpha > 1\)，\(\alpha^n\)趨向無窮，\(y_n\)因\(\sin(n\beta)\)振盪而不收斂；若\(\alpha \leq 1\)，\(\alpha^n \to 0\)（\(\alpha < 1\)）或穩定（\(\alpha = 1\)），此時\(y_n\)收斂。 因此，\(\{y_n\}\)收斂 \(\implies \alpha \lt 1\)，（4）錯誤。 選項（5）$\because \alpha\lt1\therefore \{y_n\}收斂$（5）正確。 報錯
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111分科數學甲試題-11

在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(\vert z\vert = 1\)以及\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，其中\(i = \sqrt{-1}\)，\(z\)的實部為\(a\)、虛部為\(b\)，則\(a=\)__________ ，\(b=\)__________ (化為最簡根式)

[選填]
答案

由\(\vert z\vert = 1\)，可設\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)。已知\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，將\(z=\cos\theta+i\sin\theta\)代入，利用複數模的性質\(\vert z_1 - z_2\vert^2=(z_1 - z_2)(\overline{z_1 - z_2})\)，化簡可得\(\cos3\theta=\cos\theta\)。結合\(z\)在第一象限，可得\(\theta = \frac{\pi}{4}\) ，所以\(z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\)，即\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 。原答案格式中的空缺部分，經計算\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}\)可表示為\(a=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{4}}{2\sqrt{2}}\) ，\(b=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1\times\sqrt{2}}{2}\) （此處是為了對應原格式，但原格式表述可能有誤 ，正確答案以\(a = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(b = \frac{\sqrt{2}}{2}\)為準） 報錯
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