設 \( f(x) \) 為實係數三次多項式函數，滿足 \((x+1)f(x)\) 除以 \( x^3+2 \) 的餘式為 \( x+2 \)。若 \( f(0)=4 \)，則 \( f(2) \) 的值為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 10
(3) 15
(4) 18
(5) 20
答案
三次多項式一階導數
110學測數學考科_13
設多項式函數 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( a, b, c \) 均為有理數。試選出正確的選項。
(1) 函數 \( y = f(x) \) 與拋物線 \( y = x^2 + 100 \) 的圖形可能沒有交點
(2) 若 \( f(0)f(1) < 0 < f(0)f(2) \)，則方程式 \( f(x) = 0 \) 必有三個相異實根
(3) 若 \( 1 + 3i \) 是方程式 \( f(x) = 0 \) 的複數根，則方程式 \( f(x) = 0 \) 有一個有理根
(4) 存在有理數 \( a, b, c \) 使得 \( f(1), f(2), f(3), f(4) \) 依序形成等差數列
(5) 存在有理數 \( a, b, c \) 使得 \( f(1), f(2), f(3), f(4) \) 依序形成等比數列
111學測數學A考科-10
給定一實係數三次多項式函數 \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 3 \)。令 \( g(x) = f(-x) – 3 \)，已知 \( y = g(x) \) 圖形的對稱中心為 \( (1, 0) \) 且 \( g(-1) \lt 0 \)。試選出正確的選項。
(1) \( g(x) = 0 \) 有三相異整數根
(2) \( a \lt 0 \)
(3) \( y = f(x) \) 圖形的對稱中心為 \( (-1, -3) \)
(4) \( f(100) \lt 0 \)
(5) \( y = f(x) \) 的圖形在點 \( (-1, f(-1)) \) 附近會近似於一條斜率為 \( a \) 的直線
答案
111學測數學A考科-12
設 \( f(x) \cdot g(x) \) 皆為實係數多項式，其中 \( g(x) \) 是首項係數為正的二次式。已知 \( (g(x))^2 \) 除以 \( f(x) \) 的餘式為 \( g(x) \)，且 \( y=f(x) \) 的圖形與 x 軸無交點。試選出不可能是 \( y=g(x) \) 圖形頂點的 y 坐標之選項。
(1) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (2) 1 (3) \( \sqrt{2} \) (4) 2 (5) \( \pi \)
答案
114學測數學A考科_13
已知實係數三次多項式 \(f(x)\) 除以 \(x+6\) 得商式 \(q(x)\) 和餘式 3。若 \(q(x)\) 在 \(x=-6\) 有最大值 8，則 \(y=f(x)\) 圖形的對稱中心坐標為 \((\)__________\(,\)__________\()\)。
答案
113學測數學A考科_03
設 \( a \in \{-6, -4, -2, 2, 4, 6\} \)，已知 \( a \) 為實係數三次多項式 \( f(x) \) 的最高次項係數，若函數 \( y=f(x) \) 的圖形與 x 軸交於三點，且其 x 坐標成首項為 \(-7\)，公差為 \( a \) 的等差數列。試問共有幾個 \( a \) 使得 \( f(0)>0 \)？
(1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個
答案
109指考數學乙(補考)試題-_A
若 \( f(x) \) 為二次的實係數多項式函數，且滿足 \( f(0)+f(1)=5 \)，\( f(1)+f(2)=17 \)，\( f(2)+f(0)=14 \)，則 \( f(x)=\underline{\quad }x^2+\underline{\quad }x+9 \)
答案
114分科測驗數學乙考科試卷-13
設f(x)為實係數三次多項式，y=f(x)在x=-3有極小值，x=1有極大值，下列關於\(f”(-3)\)和\(f”(1)\)的敘述，正確的選項？
(1) \(f”(-3)=f”(1)=0\)
(2) \(f”(-3)>0\)且\(f”(1)>0\)
(3) \(f”(-3)>0\)且\(f”(1)<0\)
(4) \(f”(-3)<0\)且\(f''(1)>0\)
(5) \(f”(-3)<0\)且\(f''(1)<0\)
答案
109指考數學甲(補考)試題-1)
設\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)為三次實係數多項式函數。已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的因式，若\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)，其中\(k\)為實數，試求出\(b\)（以\(k\)的數學式表示）。(4分)
答案
首先對\(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx + d\)求導，可得\(f'(x)=3x^{2}+2bx + c\)。
將\(f(x)=\frac{1}{3}f'(x)(x + k)\)展開：
\(x^{3}+bx^{2}+cx + d=\frac{1}{3}(3x^{2}+2bx + c)(x + k)\)
\(=\frac{1}{3}(3x^{3}+3kx^{2}+2bx^{2}+2bkx + cx + ck)\)
\(=x^{3}+(k+\frac{2b}{3})x^{2}+(\frac{2bk + c}{3})x+\frac{ck}{3}\)。
對比等式兩邊\(x^{2}\)的係數，可得\(b = k+\frac{2b}{3}\)，
移項可得\(b-\frac{2b}{3}=k\)，即\(\frac{b}{3}=k\)，所以\(b = 3k\)。 報錯
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