〈三角函數〉彙整頁面

101學測數學考科-12

在坐標平面上,廣義角 $\theta$ 的頂點為原點 $O$,始邊為 $x$ 軸的正向,且滿足 $\tan \theta = \frac{2}{3}$。若 $\theta$ 的終邊上有一點 $P$,其 $y$ 坐標為 $-4$,則下列哪些選項一定正確？
(1) $P$ 的 $x$ 坐標是 6
(2) $OP = 2\sqrt{13}$
(3) $\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$
(4) $\sin 2\theta > 0$
(5) $\cos \frac{\theta}{2} < 0$

答案

根據 $\tan \theta = \frac{2}{3}$,且 $y = -4$,則 $x = \frac{3}{2} \times (-4) = -6$。因此：
- $OP = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = 2\sqrt{13}$
- $\cos \theta = \frac{-6}{2\sqrt{13}} = \frac{-3}{\sqrt{13}}$
- $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{-4}{2\sqrt{13}} \times \frac{-3}{\sqrt{13}} = \frac{24}{13} > 0$
- $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{\sqrt{13}}}{2}} < 0$
因此,正確答案是 (2)(4)(5)。報錯
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102學測數學考科-06

莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午 10:00 熱氣球的仰角為 30°,到上午 10:10 仰角變成 34°。請利用下表判斷到上午 10:30 時,熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數？

(1) 39°
(2) 40°
(3) 41°
(4) 42°
(5) 43°

答案

熱氣球等速率上升,仰角變化率為每 10 分鐘增加 4°。因此,到上午 10:30 時,仰角增加 12°,即 $34° + 12° = 46°$。根據表格,最接近的選項是 (5) 43°。報錯
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103學測數學考科-17

設 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{v}$ 為兩個長度皆為 1 的向量。若 $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ 與 $\overrightarrow{u}$ 的夾角為 75°,則 $\overrightarrow{u}$ 與 $\overrightarrow{v}$ 的內積為 $\boxed{\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}}$。

答案

根據向量內積公式,$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \cos \theta$,其中 $\theta$ 為 $\overrightarrow{u}$ 與 $\overrightarrow{v}$ 的夾角。利用夾角關係,解得 $\cos \theta = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。報錯
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103學測數學考科-20

如圖,正三角形 $ABC$ 的邊長為 1,並且 $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = 15°$。已知 $\sin 15° = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$,則正三角形 $DEF$ 的邊長為 $\boxed{\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{2}}$。

答案

根據正弦定理,正三角形 $DEF$ 的邊長為 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$。報錯
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104學測數學考科-11

如圖,老王在平地點 $A$ 測得遠方山頂點 $P$ 的仰角為 13°。老王朝著山的方向前進 37 公丈後來到點 $B$,再測得山頂點 $P$ 的仰角為 15°。則山高約為 $~~~~~~~~~~$ 公丈。（四捨五入至個位數， $\tan13^\circ\approx 0.231，\tan15^\circ\approx 0.268$）

答案

根據三角函數的性質,山高約為 60 公丈。報錯
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104學測數學考科-20

下圖為汽車迴轉示意圖。汽車迴轉時,將方向盤轉動到極限,以低速讓汽車進行轉向圓周運動,汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑,如圖中的BC即是。已知在低速前進時,圖中A處的輪胎行進方向與AC垂直,B處的輪胎行進方向與BC垂直。在圖中,已知軸距AB為2.85公尺,方向盤轉到極限時,輪子方向偏了28度 ,試問此車的迴轉半徑BC為㊱.㊲公尺。（小數點後第一位以下四捨五入, $\sin28^{\circ}\approx0.4695$ , $\cos28^{\circ}\approx0.8829$ ）

答案

在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAC = 90^{\circ}-28^{\circ}=62^{\circ}$ , $\angle ABC = 28^{\circ}$ , $AB = 2.85$ 公尺。由正切函數 $\tan28^{\circ}=\frac{AB}{BC}$ ,可得 $BC=\frac{AB}{\tan28^{\circ}}=\frac{2.85}{0.5317}\approx5.4$ 公尺。報錯
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107學測數學考科-05

試問共有幾個角度 θ 滿足 $0^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$，且 $\cos(3\theta – 60^\circ)$，$\cos 3\theta$，$\cos(3\theta + 60^\circ)$ 依序成一等差數列？
(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 5個。

答案

等差條件：$ \cos(3\theta - 60^\circ) + \cos(3\theta + 60^\circ) = 2\cos 3\theta $。和差化積得 $ 2\cos 3\theta \cos 60^\circ = 2\cos 3\theta \Rightarrow \cos 3\theta = 0 $。在 $ 0^\circ \lt 3\theta \lt 540^\circ $ 內，$ 3\theta = 90^\circ, 270^\circ, 450^\circ \Rightarrow \theta = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ $。答案：(3) 報錯
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108學測數學考科-G

如圖（此為示意圖），$A, B, C, D$為平面上的四個點。已知$\overset{\rightharpoonup}{BC}= \overset{\rightharpoonup}{AB}+\overset{\rightharpoonup}{AD}$，$\overset{\rightharpoonup}{AC}, \overset{\rightharpoonup}{BD}$兩向量等長且互相垂直，則$\tan \angle BAD = $ __________。

答案

利用坐標法得$\tan\angle BAD = -3$。報錯
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109學測數學考科-09

在坐標平面上，有一通過原點O的直線L，以及一半徑為2，圓心為原點O的圓T。P,Q為T上相異2點，且OP,OQ分別與L所夾的銳角皆為30°，試選出內積OP·OQ之值可能發生的選項。
(1) $ \frac{2\sqrt{3}}{5} $ (2) $-2\sqrt{3}$ (3)0 (4) -2 (5) -4。

答案

$\overset{\rightharpoonup}{OP} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OQ} = 4 \cos \angle POQ$，可能夾角為60°, 120°, 180°，對應內積值為2, -2, -4，故選(4)(5)。報錯
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114學測數學A考科_05

設 $0\leq\theta\leq2\pi$。已知所有滿足 $\sin 2\theta \gt \sin \theta$ 且 $\cos 2\theta \gt \cos \theta$ 的 $\theta$ 可表為 $a\pi \lt \theta \lt b\pi$，其中 $a$，$b$ 為實數，試問 $b-a$ 值為何？
(1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{1}{2}$ (3) $\frac{2}{3}$ (4) $\frac{3}{4}$ (5) 1

答案

由 $\cos 2\theta \gt \cos \theta$ 得 $\cos \theta \lt -\frac{1}{2}$；
由 $\sin 2\theta \gt \sin \theta$ 得 $\sin \theta(2\cos\theta-1) \gt 0$，結合得 $\sin \theta \lt 0$ 且 $\cos \theta \lt -\frac{1}{2}$。
解得 $\pi \lt \theta \lt \frac{4\pi}{3}$，故 $a=1$，$b=\frac{4}{3}$，$b-a=\frac{1}{3}$，選(1)。報錯
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