坐標平面上有一邊長為 3 的正六邊形 \( ABCDEF \)，其中 \( A(3,0)\cdot D(-3,0) \)。
試問橢圓 \( \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1 \) 與正六邊形 \( ABCDEF \) 有多少個交點？
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
(5) 8
答案
三角形
110學測數學考科_F
如右圖，機器人在地面上從一點 \(P\) 出發，按照以下規則移動：先朝某方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉 \(45^\circ\)；朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉 \(90^\circ\)；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉 \(45^\circ\)；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉 \(90^\circ\) ……，以此類推。已知機器人移動的路徑會形成一個封閉區域，則此封閉區域的面積為 \(\underline{\qquad\qquad} + \underline{\qquad\qquad} \sqrt{\qquad\qquad}\) 平方公尺。（化成最簡根式）
答案
111學測數學A考科-06
設坐標平面上兩直線 \( L_1, L_2 \) 的斜率皆為正，且 \( L_1, L_2 \) 有一夾角的平分線斜率為 \( \frac{11}{9} \)。另一直線 \( L \) 通過點 \( \left( 2, \frac{1}{3} \right) \) 且與 \( L_1, L_2 \) 所圍的有界區域為正三角形，試問 \( L \) 的方程式為下列哪一選項？
(1) \( 11x – 9y = 19 \)
(2) \( 9x + 11y = 25 \)
(3) \( 11x + 9y = 25 \)
(4) \( 27x – 33y = 43 \)
(5) \( 27x + 33y = 65 \)
答案
111學測數學A考科-08
坐標平面上，\( \triangle ABC \) 三頂點的坐標分別為 \( A(0, 2), B(1, 0), C(4, 1) \)，試選出正確的選項。
(1) \( \triangle ABC \) 的三邊中，\( \overline{AC} \) 最長
(2) \( \sin A \lt \sin C \)
(3) \( \triangle ABC \) 為銳角三角形
(4) \( \sin B = \frac{7\sqrt{2}}{10} \)
(5) \( \triangle ABC \) 的外接圓半徑比2小
答案
111學測數學A考科-11
右圖為一個積木的示意圖，其中 \( ABC \) 為一直角三角形，\( \angle ACB = 90^\circ, \overline{AC} = 5, \overline{BC} = 6 \)，且 \( ADEB \) 與 \( ADFC \) 皆為矩形。試選出正確的選項。
(1)將此積木沿平面 \( ACE \) 切下，可切得兩個四面體
(2)平面 \( ADEB \) 與 \( ADFC \) 所夾銳角大於 \( 45^\circ \)
(3) \( \angle CEB \lt \angle AEB \)
(4) \( \tan \angle AEC \lt \sin \angle CEB \)
(5) \( \angle CEB \lt \angle AEC \)
答案
111學測數學A考科-15
如右圖，王家有塊三角形土地 \( \triangle ABC \)，其中 \( \overline{BC}=16 \) 公尺。政府擬徵收其中梯形 \( DBCE \) 部分，開闢以直線 \( DE \)、\( BC \) 為邊緣的馬路，其路寬為 \( h \) 公尺，這讓王家土地只剩原有面積的 \( \frac{9}{16} \)。經協商，改以開闢平行直線 \( BE \)、\( FC \) 為邊緣的馬路，且路寬不變，其中 \( \angle EBC=30^\circ \)，則只需徵收 \( \triangle BCE \) 區域。依此協商，王家剩餘的土地 \( \triangle ABE \) 有 __________ 平方公尺。
答案
由 \( \triangle ADE \) 面積 = \( \frac{9}{16} \triangle ABC \) 面積，得 \( DE = \frac{3}{4} BC = 12 \)
\( h = BC \times \sin 30^\circ = 8 \)
梯形 \( DBCE \) 面積 = \( \frac{1}{2}(12+16) \times 8 = 112 \)
\( \triangle ABE \) 面積 = \( \frac{9}{7} \times 112 + \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 192 \) 平方公尺
114學測數學A考科_02
坐標平面上，\( P(a, 0) \) 為 x 軸上一點，其中 \( a \gt 0 \)。令 \( L_1 \)、\( L_2 \) 為通過 \( P \) 點，斜率分別為 \( -\frac{4}{3} \)、\( -\frac{3}{2} \) 的直線。已知 \( L_1 \)、\( L_2 \) 分別與兩坐標軸圍成的兩個直角三角形的面積差為 3，試問 \( a \) 值為何？
(1) \( 3\sqrt{2} \)
(2) 6
(3) \( 6\sqrt{2} \)
(4) 9
(5) \( 8\sqrt{2} \)
答案
113學測數學A考科_04
試問有多少個實數 \( x \) 滿足 \(\sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin x + \sin\frac{\pi}{6}\) 且 \( 0 \leq x \lt 2\pi \)？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 5 個（含）以上
答案
113學測數學A考科_08
對任一正整數\(n\geq 2\)，令\(T_n\)表示邊長為\(n,n+1,n+2\)的三角形。試選出正確的選項。
(1) \(T_n\)皆為銳角三角形
(2) \(T_2,T_3,T_4,\ldots,T_{10}\)的周長形成等差數列
(3) \(T_n\)的面積隨\(n\)增大而增大
(4) \(T_5\)的三高依序形成等差數列
(5) \(T_3\)的最大角大於\(T_2\)的最大角
答案
113學測數學A考科_10
坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 x 軸上，且正方形中心 A 與正六邊形中心 B 都在 x 軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點 P，又知正方形的邊長為 6，而點 P 到 x 軸的距離為 \( 2\sqrt{3} \)。試選出正確的選項。
(1) 點 A 到 x 軸的距離大於點 B 到 x 軸的距離
(2) 正六邊形的邊長為 6
(3) \(\overset{\rightharpoonup}{BA} = (7, 3 – 2\sqrt{3})\)
(4) \(\overset{\rightharpoonup}{AP} \gt \sqrt{10}\)
(5) 直線 AP 斜率大於 \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
答案
由題意推得正方形中心 A 高為 3，正六邊形中心 B 高為 \(2\sqrt{3} \approx 3.464\)，故(1)錯；正六邊形邊長為 4，故(2)錯；
計算向量 \(\overset{\rightharpoonup}{BA} = (7, 3-2\sqrt{3})\)，故(3)對；計算 \(AP = \sqrt{30-12\sqrt{3}} \lt \sqrt{10}\)，故(4)錯；
斜率 \(m = \frac{3-2\sqrt{3}}{3} \gt -\frac{1}{\sqrt{3}}\)，故(5)對。因此選(3)(5)。