坐標平面上，圓T完全落在四個不等式：\( x-y \leq 4 \)，\( x+y \leq 18 \)，\( x-y \geq -2 \)，\( x+y \geq -24 \)所圍成的區域內，則T最大可能面積為 __________ \(\pi\)（化成最簡分數）
區域為平行四邊形，兩組平行線距離：\( x-y \) 組：\( \frac{|4-(-2)|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \)；\( x+y \) 組：\( \frac{|18-(-24)|}{\sqrt{2}} = \frac{42}{\sqrt{2}} = 21\sqrt{2} \)。取短邊 \( 3\sqrt{2} \) 為直徑，半徑 \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)，面積 \( \pi \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{9}{2}\pi \)。答案：\( \frac{9}{2} \) 報錯
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設整數 \( n \) 滿足 \( |5n – 21| \geq 7|n| \)。試選出正確的選項。
(1) \( |5n – 7n| \geq 21 \)
(2) \( -1 \leq \frac{7n}{5n – 21} \leq 1 \)
(3) \( 7n \leq 5n – 21 \)
(4) \( (5n – 21)^2 \geq 49n^2 \)
(5) 滿足題設不等式的整數 \( n \) 有無窮多個
設 \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \) 是首項為3且公比為\(3\sqrt{3}\)的等比數列。試選出滿足不等式
\[\log_3 a_1 – \log_3 a_2 + \log_3 a_3 – \log_3 a_4 + \cdots + (-1)^{n+1} \log_3 a_n \gt 18\]
的項數 \( n \) 之可能選項。
(1) 23 (2) 24 (3) 25 (4) 26 (5) 27
\( a_n = 3 \cdot (3\sqrt{3})^{n-1} = 3^{\frac{3n-1}{2}} \Rightarrow \log_3 a_n = \frac{3n-1}{2} \)
交錯和 \( S_n = \frac{1}{2}[2 - 5 + 8 - 11 + \cdots + (-1)^{n+1}(3n-1)] \)
當 \( n \) 為奇數時，\( S_n = \frac{1}{2}[2 + 3 \times \frac{n-1}{2}] \gt 18 \Rightarrow n \gt 23\frac{2}{3} \)
又 \( n \) 為奇數，故選(3)(5) 報錯
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18-20 題為題組
坐標空間中，設 \( O \) 為原點，\( E \) 為平面 \( x-z=4 \)。試回答下列問題。
18. 若原點 \( O \) 在平面 \( E \) 上的投影點為 \( Q \)，且向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OQ} \) 與向量 \( (1,0,0) \) 的夾角為 \( \alpha \)，則 \( \cos \alpha \) 之值為下列哪一選項？
(1) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) (2) \(-\frac{1}{2}\) (3) \(\frac{1}{2}\) (4) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (5) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
18-20 題為題組19. 已知空間中有一點 \( P(a, b, c) \) 滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與向量 \((1, 0, 0)\) 的夾角 \(\theta \leq \frac{\pi}{6}\)。試說明實數 \( a, b, c \) 滿足不等式 \( a^2 \geq 3(b^2 + c^2) \)。
18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 \( P \) 在平面 \( E \) 上且 \( b = 0 \)。試求 \( c \) 的最大可能範圍，並求線段 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 的最小可能長度。
18. 平面法向量為 \((1,0,-1)\)，投影點 \(Q\) 滿足 \(\overset{\rightharpoonup}{OQ} \parallel (1,0,-1)\)，代入平面得 \(Q(2,0,-2)\)，則 \(\cos \alpha = \frac{(2,0,-2)\cdot(1,0,0)}{|(2,0,-2)|} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，選(4)
由 \(\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \geq \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，平方得 \(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{3}{4}\)，整理得 \(a^2 \geq 3(b^2+c^2)\)。
由 \(a-c=4\) 與 \(a^2 \geq 3c^2\) 得 \((c+4)^2 \geq 3c^2 \Rightarrow c^2 - 4c - 8 \leq 0\)，解得 \(2-2\sqrt{3} \leq c \leq 2+2\sqrt{3}\)。
又 \(|\overset{\rightharpoonup}{OP}|^2 = 2c^2+8c+16 = 2(c+2)^2+8\)，當 \(c=2-2\sqrt{3}\) 時有最小值 \(4\sqrt{3}-4\)。 報錯
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18-20 題為題組19. 已知空間中有一點 \( P(a, b, c) \) 滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與向量 \((1, 0, 0)\) 的夾角 \(\theta \leq \frac{\pi}{6}\)。試說明實數 \( a, b, c \) 滿足不等式 \( a^2 \geq 3(b^2 + c^2) \)。
某車商代理進口兩廠牌汽車，甲廠牌汽車每台成本100萬元，此次進口上限20台，售出一台淨利潤11萬元；乙廠牌汽車每台成本120萬元，此次進口上限30台，售出一台淨利潤12萬元。今車商準備4400萬元作為此次汽車進口成本，且保證所進口的車輛必定全部售完。試回答下列問題。
(1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數。
不等式 \( x+y \leq 47 \) 的所有非負整數解中，滿足 \( x \geq y \) 的解共有 __________ 組。
坐標平面上，有兩點 \( A(4,-1) \) 與 \( B(-2,2) \)。已知點 \( C(x,y) \) 滿足聯立不等式 \( x+2y \geq 2 \)、\( x-y \geq -4 \)、\( y \leq 8 \) 以及 \( 3x+y \leq 23 \)，則當 \( C \) 點坐標為 \( (\underline{\qquad},\underline{\qquad}) \) 時，\(\triangle ABC\) 有最大的面積。
\(\triangle ABC\) 面積最大時，C 到 AB 的距離最大。
AB 直線：斜率 (2-(-1))/(-2-4) = 3/(-6) = -1/2，方程：y+1 = (-1/2)(x-4) ⇒ y = -x/2 +1。
距離公式：\( \frac{|(-1/2)x - y + 1|}{\sqrt{(-1/2)^2+1}} \)，但符號處理麻煩，改用頂點檢驗法。
可行解區域頂點：解交點：
1. \( x+2y=2 \) 與 \( x-y=-4 \) ⇒ 相減 3y=6 ⇒ y=2, x=-2 ⇒ (-2,2) 即 B 點。
2. \( x+2y=2 \) 與 \( 3x+y=23 \) ⇒ 解：由第一式 x=2-2y，代入第二式 6-6y+y=23 ⇒ -5y=17 ⇒ y=-17/5，x=2+34/5=44/5，頂點 (44/5, -17/5)。
3. \( x-y=-4 \) 與 \( 3x+y=23 \) ⇒ 相加 4x=19 ⇒ x=19/4, y=19/4+4=35/4，頂點 (19/4, 35/4)。
4. \( x+2y=2 \) 與 \( y=8 \) ⇒ x=2-16=-14，頂點 (-14,8)。
5. \( x-y=-4 \) 與 \( y=8 \) ⇒ x=4，頂點 (4,8)。
6. \( 3x+y=23 \) 與 \( y=8 \) ⇒ 3x=15 ⇒ x=5，頂點 (5,8)。
檢查哪些在區域內：需滿足所有不等式。
計算各頂點與 A,B 形成的三角形面積（AB 為底，高為 C 到 AB 距離）。
AB 長度固定，面積與距離成正比。
AB 直線方程：x+2y-2=0? 檢查 A:4+2(-1)-2=0，B:-2+4-2=0，正確。
距離 \( d = \frac{|x+2y-2|}{\sqrt{5}} \)。
計算各頂點 |x+2y-2|：
(-2,2): |-2+4-2|=0
(44/5,-17/5): |44/5 -34/5 -2| = |10/5 -2| = 0
(19/4,35/4): |19/4+70/4-2| = |89/4-2| = |81/4|=20.25
(-14,8): |-14+16-2|=0
(4,8): |4+16-2|=18
(5,8): |5+16-2|=19
最大為 (19/4,35/4) 的 20.25。
但需檢查 (19/4,35/4) 是否在區域內：
x+2y=19/4+70/4=89/4=22.25≥2 ok
x-y=19/4-35/4=-16/4=-4≥-4 ok
y=35/4=8.75≤8? 不滿足！所以此點不在區域內（因 y≤8）。
所以最大距離頂點為 (5,8)：距離 19/√5。
檢查 (4,8)：距離 18/√5。
其他頂點距離 0。
所以最大面積在 C=(5,8)。
答案為 (5,8)。 報錯
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在所有滿足不等式 \( |4-3x|<11 \) 的整數中，選取三相異整數（不計順序），而所選取的三數之中位數大於或等於該三數之平均數的選法有 \( \boxed{16} \boxed{17} \) 種。
某運輸公司欲向一汽機車製造商訂購一批重型機車（簡稱重機）和汽車。其訂購費用為重機一部25萬元及汽車一部60萬元，訂購經費上限是5400萬元。另此運輸公司共有100格停車位，每格停車位恰可停放兩部重機或是停放一部汽車。而此運輸公司每銷售1部重機可得淨利潤2.3萬元（即2萬3千元），銷售1部汽車則可得淨利潤5萬元，並假設此運輸公司可將其所訂購之重機及汽車全數銷售完畢。此運輸公司希望能在訂購經費的上限和停車位之限制下獲得最大的淨利潤。試回答下列問題。
(1) 試寫出此問題之線性規劃不等式及目標函數。
